牛頓迭代法參考連結：我愛維基

首先，選擇一個接近函式零點的，計算相應的和切線斜率（這裡表示函式的導數）。然後我們計算穿過點並且斜率為的直線和軸的交點的座標，也就是求如下方程的解：

我們將新求得的點的座標命名為，通常會比更接近方程的解。因此我們現在可以利用開始下一輪迭代。迭代公式可化簡為如下所示：

我們最後選擇一個精度範圍就行了。

題目連結：poj 3111

題意：給你n個價值為v，質量為w，讓你選擇k個，滿足單位價值最大。

題解：這題是個最大值最大化例題，但這題可以用迭代法來解決。

先取前k個元素算出S0 =∑(vi/wi) 作為初始值，然後對每一個元素(n個)求yi=vi-s0*wi，對yi從大到小排序，取前k個元素算出S，重複上面的運算（每次迴圈後把S的值賦給S0，然後新一輪迴圈時S有通過S0計算出來），直到fabs(S-S0)<=eps，滿足精度要求。
正確性證明：

證明其正確性，只要證明每次迭代的S都比上一次的大即可，也即迭代過程中S是單調遞增的，因為給定的是有限集，故可以肯定，S必存在最大值，即該迭代過程是收斂的。下面證明單調性：

假設上輪得到的S1，則在n個元素中必存在k個元素使S1=∑(vi/wi),變形可得到∑vi-S1*∑wi=0，現對每個元素求yi=vi-S1*wi，可知必存在k個元素使∑yi=∑vi-s1*∑wi=0， 所以當我們按y排序並取前k個元素作為求其∑y時，其∑y>=0，然後對和式變形即可得到S1=（（∑v-∑y）/∑w）<=（∑v/∑w）=s2，即此迭代過程是∑y是收斂的，當等號成立時，此S即為最大值。

ei，這個好像跟上面的牛頓迭代法聯絡不是很大，自己體會了。

程式碼：

#include<algorithm>
#include<cstdio>
#include<cstring>
#include<cmath>

using namespace std;

const int maxn=100010;
const double esp=1e-8;

struct node{
    int v,w,id;
    double val;

    bool operator < (const node &a) const {
        return val>a.val;
    }
}num[maxn];


int n,k;

double get()
{
    double sumv=0,sumw=0;
    for(int i=1;i<=k;i++)
        sumv+=num[i].v,sumw+=num[i].w;

    return sumv/sumw;
}
int main()
{


    while(~scanf("%d%d",&n,&k))
    {
        for(int i=1;i<=n;i++)
        {
            scanf("%d%d",&num[i].v,&num[i].w);
            num[i].id=i;
        }

        double s2=get(),s1;

        do{
            s1=s2;

            for(int i=1;i<=n;i++){
                num[i].val=num[i].v-s1*num[i].w;
            }
            sort(num+1,num+1+n);
            s2=get();

        }while(fabs(s2-s1)>=esp);

        for(int i=1;i<k;i++)
            printf("%d ",num[i].id);
            printf("%d\n",num[k].id);

    }
    return 0;
}
 

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