while(n != 0)
    {
        r = m % n;
        m = n;
        n = r;
    }
    printf("Their greatest common divisor is %d.\n", m);

都知道在求最大公因子（最大公約數）的時候，使用歐幾里得演算法（輾轉相除法）。下面來研究這個演算法怎麼推論出來的。

首先看：

我們用 b|a 表示b整除a。也稱b是a的因子。

用gcd（a，b）表示a和b的最大公因子。

如果 b|g 且 b|h，則對任意的整數m和n，有 b|(mg+nh)。

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下面推論：

假設我們有整數a，b使得d = gcd（a，b）。

根據除法，我們知道

a =q₁b + r₁            0 <= r₁ < b

_{所以由 d | a 和 d | b 可以推出}

d | (ma+nb)   ----->   d | (a - q₁b )     --------->  d | r₁

現在我們知道 d | b 和 d | r₁

假設有任意的整數 c 整除 b 和 r_{1，則有c | (mb+nr1)，所以有c | (q1b+r1)  ------>  c | a}

因為 c 能同時整除 a 和 b，必須有 c <= d，而d 是 a和b的最大公因子。

因此，

d = gcd（b，r₁）

如此迴圈，直到 r_i = 0。

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歐幾里德定理： gcd(a, b) = gcd(b , a mod b)

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擴充套件的歐幾里德：

知道了 a 和 b 的最大公約數是 d ，那麼，我們一定能夠找到這樣的 x 和 y ，使得: 

ax + by = d = gcd(a，b)

 我們觀察到：歐幾里德演算法停止的狀態是： a= gcd ， b = 0 ，

    當然這是最終狀態，但是我們是否可以從最終狀態反推到最初的狀態呢？

    假設當前我們要處理的是求出 a 和 b的最大公約數，並求出 x 和 y 使得 a*x + b*y= gcd ，而我們已經求出了下一個狀態：b 和 a%b 的最大公約數，並且求出了一組x1 和y1 使得： b*x1 + (a%b)*y1 = gcd ， 那麼這兩個相鄰的狀態之間是否存在一種關係呢？

    我們知道：

a%b = a - (a/b)*b

（這裡的 “/” 指的是整除，例如 5/2=2 , 1/3=0），那麼，我們可以進一步得到：

gcd = b*x1 + (a-(a/b)*b)*y1

            = b*x1 + a*y1 – (a/b)*b*y1

            = a*y1 + b*(x1 – a/b*y1)

    對比之前我們的狀態：求一組 x 和 y 使得：a*x + b*y = gcd ，是否發現了什麼？

    這裡：

        x = y1

        y = x1 – a/b*y1

以上就是擴充套件歐幾里德演算法的全部過程，依然用遞迴寫：

應用在乘法逆元：