擴充套件歐幾里得定理

對於不完全為 0 的非負整數 a，b，gcd（a，b）表示 a，b 的最大公約數，必然

存在整數對 x，y ，使得 gcd（a，b）=ax+by。

求解 x，y的方法的理解

設 a>b。

1，顯然當 b=0，gcd（a，b）=a。此時 x=1，y=0；

2，a>b>0 時

設 ax1+ by1= gcd(a,b);

bx2+ (a mod b)y2= gcd(b,a mod b);

根據樸素的歐幾里得原理有 gcd(a,b) = gcd(b,a mod b);

則:ax1+ by1= bx2+ (a mod b)y2;

即:ax1+ by1= bx2+ (a - [a / b] * b)y2=ay2+ bx2- [a / b] * by2;

說明： a-[a/b]*b即為mod運算。[a/b]代表取小於a/b的最大整數。

也就是ax1+ by1 == ay2+ b(x2- [a / b] *y2);

根據恆等定理得：x1=y2; y1=x2- [a / b] *y2;

這樣我們就得到了求解 x1,y1 的方法：x1，y1 的值基於 x2，y2.

解題思路：經過k圈後相遇，設時間為t，則：

                   x+mt = y + nt + kl;

                   x - y = (n - m)t + kl;

                   那麼就有 a = n-m, b = l, c = x-y;

故而當 gc = gcd(a, b) 是c的約數，那麼這個方程有解，否則無解

一組解為x0 = x*c/gc; y0 = y*c/gc;

通解為x = x0 + b/gc*t; y = y0-a*gc*t;

#include <iostream>
#include <cstdio>
#include <cstring>
using namespace std;
typedef long long ll;
int exgcd(ll a,ll b,ll &x,ll &y)
{
    if(b == 0)
    {
        x = 1,y = 0;
        return a;
    }
    int r = exgcd(b,a%b,x,y);
    int t = x;
    x = y;
    y = t-a/b*y;
    return r;
}
int main()
{
    ll X,Y,m,n,l,x,y;
    while(~scanf("%lld %lld %lld %lld %lld",&X,&Y,&m,&n,&l))
    {
        ll a = n-m,b = l,c = X-Y;
        ll gc = exgcd(a,b,x,y);
        if(c%gc) //判斷是否有解
            printf("Impossible\n");
        else
        {
            c /= gc;
            ll t = (c*x%b+b)%b; //求一組解
            printf("%lld\n",t);
        }
    }
    return 0;
}