歐幾里德輾轉相除法 費馬小定理 尤拉定理 擴充套件歐幾里德演算法簡介
阿新 • • 發佈：2019-02-20
證明：對於(2)，p是素數，a是整數且gcd(a,p)=1即他們的最大公約數是1。由於a, 2a, 3a, ……，(p-1)a 模p的餘數都不相同。否則若(i*a) mod p=(j*a) mod p
其中 1 =< i < j <= p-1 則p|(j-i)*a, 而gcd(a,p)=1,
那麼p|(j - i),這是不可能的，所以a, 2a, 3a, ……, (p-1)a對p的餘數取遍1，2，……p-1。所以a*2a*3a*4a*……*(p-1)a對p的餘數等於1*2*……(p-1)對p的餘數。這是由於性質：a mod p = x, b mod p = y, 那麼(a*b) mod p = (x*y) mod p
1*2*……(p-1)*a^(p-1) mod p = (p-1)! mod p
((a^(p-1) - 1)*(p-1)! + (p-1)!)mod p = (p-1)! mod p
則(a^(p-1) - 1)*(p-1)! mod p = 0
由於p是素數，gcd(p, (p-1)!)=1
所以a^(p-1) - 1 mod p = 0
就是 p|(a^(p-1) - 1)。因此(2)得證。對於(1) 若gcd(a,p) ≠ 1,那麼由於p是素數必然p|a 因此p|a*(a^(p - 1) - 1)顯然得證。如果gcd(a,p) = 1, 則由(2)得p|(a^(p-1)-1)因此因此p|(a^(p - 1) - 1)*a
其中 1 =< i < j <= p-1 則p|(j-i)*a, 而gcd(a,p)=1,
那麼p|(j - i),這是不可能的，所以a, 2a, 3a, ……, (p-1)a對p的餘數取遍1，2，……p-1。所以a*2a*3a*4a*……*(p-1)a對p的餘數等於1*2*……(p-1)對p的餘數。這是由於性質：a mod p = x, b mod p = y, 那麼(a*b) mod p = (x*y) mod p
1*2*……(p-1)*a^(p-1) mod p = (p-1)! mod p
((a^(p-1) - 1)*(p-1)! + (p-1)!)mod p = (p-1)! mod p
則(a^(p-1) - 1)*(p-1)! mod p = 0
由於p是素數，gcd(p, (p-1)!)=1
所以a^(p-1) - 1 mod p = 0
就是 p|(a^(p-1) - 1)。因此(2)得證。對於(1) 若gcd(a,p) ≠ 1,那麼由於p是素數必然p|a 因此p|a*(a^(p - 1) - 1)顯然得證。如果gcd(a,p) = 1, 則由(2)得p|(a^(p-1)-1)因此因此p|(a^(p - 1) - 1)*a