一，逆元：

先讓我們考慮如何求解線性同餘方程 ：a * x ≡ b ( mod  m ) （1）（x為一個變數）。

對於方程：a * x =  b ，由於a存在倒數1/a  ( a * y = 1，y為a的倒數) 所以我們可以很容

易求解出該方程。如果 在（1）模運算中也存在類似於倒數的數y，這樣我們就能很快

的求解出（1）方程。 x = b * y；  在這裡我們稱y為a 的逆元，

1，定義： 滿足 a * y ≡ 1 ( mod  m ) 方程的y稱為a的逆元（）。

二，求逆元的方法：

1，歐幾里得擴充套件;

 a * y ≡ 1 ( mod  m )    等價於 ：a * y = 1 + m * k     

a * y = 1 + m * k    等價於 ：a * y – m * k = 1  該式子 可以用

歐幾里得擴充套件 來求但是 必須要滿足： gcd（a，m）=1；

即 ：a，m互素；

三：費馬小定理：

這時我們可以得到a的一個逆元：

四，尤拉定理：

在數論中，尤拉定理,（也稱費馬-尤拉定理）是一個關於同餘的性質。尤拉定理表明，

若n,a為正整數，且n,a互質，則   

當n為素數時 n的尤拉函式值為n-1 就費馬定理 所以費馬定理是尤拉定理的特例。

四，逆元應用：乘法逆元(除法取模)    即：要求（a / b） mod p的值  

當a/b無法儲存時而p 比較小。這時我們用逆元發求解；

令：b * k ≡ 1 ( mod  p )   則 K 為 b 的逆元；

則有（a/b）% p = （a *  k ）% p = （a%p + k%p）%p ；  

證: 

因為 b * k ≡ 1 (mod p) 

則有 b * k = p* x+1 

得到 k = (p * x + 1) / b 

將 k 代入(a * k) %p 

得到： 

(a * (p * x + 1) / b)% p 

=((a * p * x) / b + a / b) %p 

=[((a * p * x) / b) %p +(a / b)] %p

=[(p * (a * x) / b) %p +(a / b)] %p 

=(0 + (a / b)) %p 

= (a/b) %p