一、尤拉定理

互質關係

如果兩個整數（或者兩個以上的整數）的最大公約數是1，則稱他們為互質。也就是說兩個整數，除了1以外，沒有其它的最大公約數了，這兩個整數就叫做互質關係。
比如說7，11他們的最大公約數只有1，所以他們互質；8，10他們的最大公約數為1，2，所以這兩數不是互質關係。

尤拉函式

尤拉函式φ(n)是小於或等於n的正整數中與n互質的數的數目，稱為尤拉函式
比如說當n=8時，與8能形成互質關係的數有4個，分別是1，3，5，7，所以φ(8)=4
具體φ(n)函式的計算公式，可以分為以下四種情況：

情況一： 當n=1，φ(1)=1

因為1與任何整數都是互質關係，所以當n=1時，φ(1)=1

情況二：當n為質數，φ(n)=n-1

因為質數與小於它的每一個數，都構成互質關係，所以當n為質數時，φ(n)=n-1 。
比如說n=3時，1，2都跟他是互質關係， n=7時，1，2，3，4，5，6都跟他是互質關係。

情況三：n = p^k (p為質數，k為指數，且大於等於1)，n是質數的k次方，則φ(p^k) = p^k - p^(k-1) = p^k（1 - 1/p）

比如：φ(8) = φ(2^3) = 2^3 - 2^2 = 4
φ(27) = φ(3^3) = 3^3(1 - 1/3) = 18

情況四： n是兩個互質的整數之積，如：n = p1 * p1，則 φ(n) = φ(p1p2) = φ(p1)φ(p2)

比如：φ(56)=φ(8×7)=φ(8)×φ(7)=4×6=24

同餘定理

給定一個正整數n，如果兩個整數a和b滿足a-b能夠被n整除，即(a-b)/n得到一個整數，那麼就稱整數a與b對模n同餘，記作a≡b(mod n)。這就是同餘定理。
例如：26≡2(mod 12)， 26%12 餘2， 2%12餘2， 26-2/12 = 0，所以26與2對模12同餘

尤拉定理

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來源：簡書

二、費馬小定理

費馬小定理是數論中的一個定理：假如a是一個整數，p是一個質數，那麼

是p的倍數，可以表示為

如果a不是p的倍數，這個定理也可以寫成(同餘式寫法)

同餘式

如果兩個正整數 a和 b之差能被 n整除，那麼我們就說 a和 b對模n同餘，記作：

證明

任意取一個質數，比如13。考慮從1到12的一系列整數1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12，給這些數都乘上一個與13互質的數，比如3，得3,6,9,12,15,18,21,24,27,30,33,36。對於模13來說，這些數同餘於3,6,9,12,2,5,8,11,1,4,7,10。這些餘數實際上就是原來的1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12，只是順序不同而已。
把1,2,3,…,12統統乘起來，乘積就是12的階乘12！。把3,6,9,…,36也統統乘起來，並且提出公因子3，乘積就是3^{12×12！。對於模13來說，這兩個乘積都同餘於1,2,3,…,12系列，儘管順序不是一一對應，即3}12×12！≡12！mod 13。兩邊同時除以12！得312≡1 mod 13。如果用p代替13，用x代替3，就得到費馬小定理xp－1≡1 mod p。

應用

• 計算2^100除以13的餘數

2^100除以13的餘數

• 證明對於任意整數a而言
  
  恆為2730的倍數。13減1為12，12的正因數有1, 2, 3, 4, 6, 12，分別加1，為2, 3, 4, 5, 7, 13，其中2, 3, 5, 7, 13為質數，
  根據定理，
  
  為2的倍數、為3的倍數、為5的倍數、為7的倍數、為13的倍數，即235713=2730的倍數。

連結： https://www.jianshu.com/p/e3df7e5d9c38
來源：簡書

  給定a，n求出 $\mathrm{S=((((aa)a)a)a\cdot \cdot \cdot \cdot )a （mod 998244353）共n個a。}$

$\mathrm{輸入：}$

$\mathrm{輸入僅一行.\; 兩個正整數a和n}$

$\mathrm{輸出：}$

$\mathrm{輸出僅一行.\; 一個正整數}$

樣例解釋：

$\mathrm{((22)2)2mod 998244353 = 256}$

 

$\mathrm{資料範圍}$

$a，n\; <=\; 1018$

 $思路：$

               $先求出指數，即\; an-1（快速冪求解），並將指數對mod-1（因為mod是質數，那麼\phi （mod）=\; mod-1），再用更新後的指數做為新的指數用快速冪求解即可。$

$程式碼如下：$

#include<cstdio>
typedef long long ll;
ll a,n;
const int M=998244353; ll mi(ll a,ll b,int mod) { ll re=1; a%=mod; while (b) { if (b&1) re=(re*a)%mod; a=(a*a)%mod; b>>=1; } return re; } int main() { scanf ("%lld%lld",&a,&n); ll t=mi(a,n-1,M-1); printf("%lld",mi(a,t,M)); return 0; } 

 

 

$\mathrm{課後例題：//poj\; 3696}$

$\mathrm{L，L <=\; 2*109.\; 問多少個8連在一起的數是L的倍數。如果不存在就輸出0.}$

$\mathrm{//這裡省略輸入輸出規則，請讀者自行注意}$

 

$\mathrm{思路：}$

x個8連在一起可以寫成8*（10^x-1）*9，假設d=gcd（L，8）。那麼題目可以表達為：L | 8*（10^x-1）*9 ， 接下來我們做一些簡單的式子變形：

L | 8*（10^x-1）/9  ←→  L*9 | 8*（10^x-1） ←→  9L/d | （10^x-1） ←→  10^x ≡ 1 （mod 9L/d）

引理：對於任意互質的正整數a，n，滿足：a^x≡1（mod n）最小的整數值 X₀ 是φ（n）的約數。

$\mathrm{證明如下：}$

（反證法）假設X₀不是φ（n）的約數，則φ（n）可以表示為：qX₀ + r（0 <= r < X₀)。題設有：a^X₀≡1（mod n），那麼，a^qX₀≡1（mod n）且正整數a,n互質，所以有尤拉定理：

a^φ(n)≡1(mod n)，即a^qX₀ * a^r≡1(mod n)，繼而得出：a^r≡1(mod n)，此時r<X₀，這與X₀是最小的整數值矛盾，所以假設不成立。得證。

φ（9L/d）並將其約數帶入10^x ≡ 1 （mod 9L/d）驗證是否成立即可。求尤拉函式和快速冪，時間複雜度為：O（√（n） * log₂ n）。程式碼如下：

 

#include<cstdio>
#include<algorithm>
using namespace std;
typedef long long ll; ll n,mod; int Case; ll gcd(ll a,ll b) { return a%b==0 ? b : gcd(b,a%b); } ll Er(ll x) { ll re=x; for (ll i=2;i*i<=x;i++) { if (x%i==0) { re=re/i*(i-1); while (x%i==0) x/=i; } } if (x>1) re=re/x*(x-1); return re; } ll mul(ll a,ll b,ll p) { ll re=0; while (b) { if (b&1) re=(re+a)%p; a=2*a%p; b>>=1; } return re; } ll ksm(ll a,ll b,ll p) { ll re=1; a%=p; while (b) { if (b&1) re=mul(re,a,p); a=mul(a,a,p); b>>=1; } return re; } int main() { while (scanf ("%lld",&n)) { if (n==0) return 0; Case++; ll d=gcd(n,8); ll phi=Er(9*n/d); mod=9*n/d; ll flag=9223372036854775806; for (ll i=1;i*i<=phi;i++) { if (phi%i==0) { if (ksm(10,i,mod)==1) flag=min(flag,i); if (ksm(10,phi/i,mod)==1) flag=min(flag,phi/i); } } flag==9223372036854775806?printf("Case %d: 0\n",Case):printf("Case %d: %lld\n",Case,flag); } }