乘法逆元

對於縮系中的元素，每個數a均有唯一的與之對應的乘法逆元x，使得ax≡1(mod n)
一個數有逆元的充分必要條件是gcd(a,n)=1，此時逆元唯一存在
逆元的含義：模n意義下，1個數a如果有逆元x，那麼除以a相當於乘以x。

1.擴充套件歐幾里得

給定模數m，求a的逆相當於求解ax=1(mod m)
這個方程可以轉化為ax-my=1
然後套用求二元一次方程的方法，用擴充套件歐幾里得演算法求得一組x0,y0和gcd
檢查gcd是否為1
gcd不為1則說明逆元不存在
若為1，則調整x0到0~m-1的範圍中即可

PS：這種演算法效率較高，常數較小，時間複雜度為O(ln n)

typedef  long long ll;
void extgcd(ll a,ll b,ll& d,ll& x,ll& y){
    if(!b){ d=a; x=1; y=0;}
    else{ extgcd(b,a%b,d,y,x); y-=x*(a/b); }
}
ll inverse(ll a,ll n){
    ll d,x,y;
    extgcd(a,n,d,x,y);
    return d==1?(x+n)%n:-1;
}

2.費馬小定理

在模為素數p的情況下，有費馬小定理
a^(p-1)=1（mod p）
那麼a^(p-2)=a^-1(mod p)
也就是說a的逆元為a^(p-2)

而在模不為素數p的情況下，有尤拉定理
a^phi(m)=1（mod m） (a⊥m)
同理a^-1=a^(phi(m)-1)

因此逆元x便可以套用快速冪求得了x=a^(phi(m)-1)

但是似乎還有個問題？如何判斷a是否有逆元呢? 

檢驗逆元的性質，看求出的冪值x與a相乘是否為1即可

PS:這種演算法複雜度為O（log2N）在幾次測試中，常數似乎較上種方法大

當p比較大的時候需要用快速冪求解

typedef  long long ll;
ll pow_mod(ll x, ll n, ll mod){
    ll res=1;
    while(n>0){
        if(n&1)res=res*x%mod;
        x=x*x%mod;
        n>>=1;
    }
    return res;
}
 

當模p不是素數的時候需要用到尤拉定理

3.特殊情況

一：

當N是質數，a是(N+1)的約數時，a−1=N+1a 
這點也很好理解。當N是質數，0 < a < N時，(a,N)=1，則a肯定存在逆元。 
而解出的N+1a就滿足N+1a⋅a≡1(modN)，故它是a的逆元。

在CF 696C，N=1000000007時

ans=a/bmodm=amod(mb)/b

公式證明：

PS:實際上a mod (bm)/b這種的對於所有的都適用，不區分互不互素,而費馬小定理和擴充套件歐幾里得演算法求逆元是有侷限性的，它們都會要求與互素，如果a與m不互素，那就沒有逆元，這個時候需要a mod (bm)/b來搞（此時就不是逆元的概念了）。但是當a與m互素的時候，bm可能會很大，不適合套這個一般公式，所以大部分時候還是用逆元來搞

4.逆元打表

有時會遇到這樣一種問題，在模質數p下，求1~n逆元 n< p（這裡為奇質數）。可以O(n)求出所有逆元，有一個遞推式如下

它的推導過程如下，設，那麼

對上式兩邊同時除，進一步得到

再把和替換掉，最終得到

初始化，這樣就可以通過遞推法求出1->n模奇素數的所有逆元了。

另外有個結論模的所有逆元值對應中所有的數，比如，那麼對應的逆元是。

typedef  long long ll;
const int N = 1e5 + 5;
int inv[N];
 
void inverse(int n, int p) {
    inv[1] = 1;
    for (int i=2; i<=n; ++i) {
        inv[i] = (ll) (p - p / i) * inv[p%i] % p;
    }
}

例題可以參考http://blog.csdn.net/acdreamers/article/details/8220787