最近，wyb小朋友老是不好好搞他的資料結構，跑過來問我數學，沒辦法，所以我決定每天發一篇數論的部落格，騙騙流量（以後wyb有不會的就看我部落格，哈哈哈）先從基礎的更起吧。

逆元：

我第一次接觸逆元是在離散數學的代數系統中，對於一種運算滿足（為該運算的單位）則稱是的逆元。

逆元在演算法中的運用：

逆元在演算法中主要是為了整數的除法取模，顯然除法是不能直接取模的。但是我們可以轉化一下，因為乘法是可以直接取模的。

所以我們的問題直接轉變成了求b的逆元。

逆元的求法：(此處的逆元是指的模運算的逆元)

1.費馬小定理：

（此處的p為素數）

要證明費馬小定理，首先我們需要證明對於任意的整數a，b，c有一個素數p滿足

對p取模的所有數字為，又因為0乘任何數等於0所以剔除0，令a為任意正整數都有原式得證

如果p為小素數我們選擇直接暴力，時間複雜度為：

int Fermat_inverse(int a,int mod)
{
    int res = 1;
    for(int i = 1;i < mod - 1;++i) res *= a;
    return res; 
}

如果p為大素數，我們可以用快速冪求解，時間複雜度為：

long long fast_pow_mod(long long a,long long b,long long mod)
{
    long long res = 1;
    while(b){
        if(b & 1) res = (res * a) % mod;
        a = (a * a) % mod;
        b >>= 1;
    }
    return res;
}
long long Fermat_inverse(long long a,long long mod)
{
    return fast_pow_mod(a,mod - 2,mod); 
}
 

2.擴充套件歐幾里得：

對於任意的兩個正整數（負整數將負號提至係數）a,b必然存在兩個整數x，y使得

懶得再寫一篇。

設,所以顯然存在兩個整數x,y使得

int extend_gcd(int a,int b,int &x,int &y)
{
    if(!b){
        x = 1,y = 0;
        return a;
    }
    else{
        int t = extend_gcd(b,a % b,y,x)
        y -= (a / b) * x;
        return t;
    }
}

至於取逆元：

int inverse_extend_gcd(int n)
{
    int x,y;
    gcd_plus(n,mod,x,y);
    x = (x % mod + mod) % mod;
    return x;
}
 

當然，擴歐求逆元和費馬小定理求逆元有一個相同的問題，那就是，對於此處的mod要求必須得是素數！！！

3.尤拉表求逆元(mod不需要為素數)

費馬定理指出：

所以此處模運算的逆元為

所以只需要打出尤拉表就能的求出逆元啦。