參考資料：

本文證明過程來自百度百科和劉汝佳的演算法入門經典。

擴充套件歐幾里得演算法介紹:

前置知識：歐幾里得演算法（其實就是輾轉相除法，用於計算兩個整數a,b的最大公約數。）

歐幾里得演算法：

在開始之前，我們先說明幾個定理：

gcd(a,b)=gcd(b,a)=gcd(-a,b)=gcd(|a|,|b|)

公式表述及證明

gcd(a,b)=gcd(b,a mod b)

證明：a可以表示成a = kb + r，則r = a mod b

假設d是a,b的一個公約數，則有

d|a, d|b，而r = a - kb，因此d|r

因此d是(b,a mod b)的公約數

假設d 是(b,a mod b)的公約數，則

d | b , d |r ，但是a = kb +r

因此d也是(a,b)的公約數

因此(a,b)和(b,a mod b)的公約數是一樣的，其最大公約數也必然相等，得證

程式碼：

根據上述公式，我們可以用遞迴來實現GCD函式（邊界條件就是a，b的最大公約數是b本身的時候，也就是a%b==0的時候），程式碼如下：

int gcd(int a,int b)
{
    return b?gcd(b,a%b):a;
}

擴充套件歐幾里得演算法：

擴充套件歐幾里德演算法是歐幾里得演算法的擴充套件，是用來在已知a, b的情況下求解一組x，y，使它們滿足貝祖等式： ax+by = gcd(a, b) =d（解一定存在，根據數論中的相關定理）。擴充套件歐幾里德常用在求解模線性方程及方程組中。

注意：很容易忽略的一個地方：對於不全為0的非負整數a，b（擴充套件歐幾里得演算法要求傳入的引數a，b是非負的），gcd(a, b)表示a, b的最大公約數，必定存在整數對x，y，滿足a*x+b*y==gcd(a, b)。如果有引數含有負數，則需要特殊處理，處理方式如下：（來自維基百科）

求解 x，y的方法及證明 （設 a>b）

1，顯然當 b=0，gcd（a，b）=a。此時 x=1，y=0；

2，a>b>0 時，設 ax1+ by1= gcd(a,b);

bx2+ (a mod b)y2= gcd(b,a mod b);

根據樸素的歐幾里德原理有 gcd(a,b) = gcd(b,a mod b);

則:ax1+ by1= bx2+ (a mod b)y2;

即:ax1+ by1= bx2+ (a - [a / b] * b)y2=ay2+ bx2- [a / b] * by2;

說明： a-[a/b]*b即為mod運算。[a/b]代表取小於a/b的最大整數。

也就是ax1+ by1 == ay2+ b(x2- [a / b] *y2);

根據恆等定理得：x1=y2; y1=x2- [a / b] *y2;

這樣我們就得到了求解 x1,y1 的方法：x1，y1 的值基於 x2，y2.

上面的思想是以遞迴定義的，因為 gcd 不斷的遞迴求解一定會有個時候 b=0，所以遞迴可以結束。

遞迴邊界：gcd（a,0）=1*a-0*0=a。

程式碼實現一：

int exGcd(int a,int b,int &x,int &y)
{
    if(b==0)
    {
        x=1;y=0;
        return a;
    }
    int r=exGcd(b,a%b,x,y);
    int t=x;x=y;y=t-a/b*y;
    return r;
}

程式碼實現二（推薦）：

int exGcd(int a,int b,int &d,int &x,int &y)
{
    if(!b) { d=a;x=1;y=0; }
    else { gcd(b,a%b,d,y,x); y-= x*(a/b); }
}

擴充套件歐幾里得演算法的應用：

應用一：求解乘法逆元（A和MOD互素的時候才存在，否則不存在逆元）

首先同餘模定理如下：

(a+b)%c=(a%c+b%c)%c;

(a*b)%c=(a%c*b%c)%c;

也就是說對於取模的加減法，和乘法我們都可以運用同餘模定理來進行計算，那麼，對於除法我們應該怎麼辦呢？首先想到的就是把除法轉換成乘法，然後就可以運用定理了。怎麼轉換呢，在普通乘法中，我們知道，除以一個數就等於乘上一個數的倒數，其實這個倒數就是我們所謂的逆元。A*（A的逆元）=單位元。在普通的乘法中 A的逆元就是它的倒數。 那麼，在模n乘法中，我們應該怎麼求逆元呢？我們設A的逆元為X，那麼我們就可以得到（A*X）%MOD=1（模n乘法的單位元也是1）。對這個式子進行變形 ，就可以得到：

(A*X)%MOD=1；那麼肯定存在k使得

A*X=k*MOD+1；

移項可得：A*X-k*MOD=1;

所以，當A和MOD互素時，就可以寫成

A*X-k*MOD=gcd(A,MOD)；

如果把A看做a，MOD看做b，X看做x，-k看做y的話，則上式可化為：

ax+by=gcd(a,b)；

這樣就可以用擴充套件歐幾里得演算法求出來x了，也就是我們要找的逆元。

應用二：求解ax=c(mod b)（也就是ax+by=c（同上逆元的變化方式））的x的最小整數解

ax=c(mod b)可以轉化為ax+by=c。（變化的方式同求逆元的時候的變化。）

我們可以用擴充套件歐幾里得演算法得出ax+by=gcd(a,b) 的一組解（x1,y1），那麼其他解呢？任取另一組解（x2,y2）,則ax1+by1=ax2+by2（因為它們都等於gcd(a,b) ），變形得a(x1-x2)=b(y2-y1)。假設gcd(a,b)=g，方程左右兩邊同時除以g（如果g=0，說明a或b等於0，可以特殊判斷），得a'(x1-x2)=b'(y2-y1)，其中a'=a/g，b'=b/g。注意，此時a'和b'互素（想想分數的化簡），則因此x1-x2一定是b'的整數倍（因為a'中不包含b'，所以x1-x2一定包含b'）。設它為kb'，計算得y2-y1=ka'。注意，上述的推導過程並沒有用到“ax+by的右邊是什麼”，因此得出以下結論：

設a,b,c為任意整數，若方程ax+by=c的一組解是（x0,y0），則它的任意整數解都可以寫成（x0+kb',y0-ka'），其中a'=a/gcd(a,b)，b'=b/gcd(a,b)，k取任意整數。

這樣我們就可以求出來最小的整數解了。（先用擴充套件歐幾里得演算法求出一組解，然後進行變換）。

具體實現方式看程式碼的註釋：

int cal(int a,int b,int c)
{
	int x,y;
	int gcd=(a,b,x,y);
	if(c%gcd!=0)
		return -1;//代表無解 
	//  ax0+by0=gcd(a,b)                                方程一 
	//同時乘以c/gcd(a,b)得   
	// (a*c/gcd(a,b))*x0+(b*c/gcd(a,b))*y0=c;
	// 令 x1=c/gcd(a,b)*x0  y1=c/gcd(a,b)*y0;
	// 則可得 ax1+by1=c                                 方程二 
	// 這時得出方程的一個解   x1=x0*c/gcd(a,b)     y1=y0*c/gcd(a,b)  
	x*=c/gcd; //將 方程一的一個特解轉化成方程2的一個特解 
	//套用上文的公式可得對方程二
	// b'=b/gcd(a,b);
	b/=gcd;   
	if(b<0)//處理小於0的特殊情況 
		b=-b;
	//對特解x  +- kb'  找到最小整數解
	//設x=kb'+r
	//那麼我們想要求的整數解就是r
	//直接取模運算即可 
	int ans=x%b; 
	//把負數的r轉化成正數的 
	if(ans<=0)
		ans+=b;
	return ans;
}

應用三：直線上的整數點

在平面座標系下，ax+by=c是一條直線方程。知道一個點，我們就可以用應用二中的方法去求直線上的所有整數點。

END~