定義

首先引入一個叫做貝祖定理的東西

對於∀a,b∈N,總是∃x,y∈Z,使ax+by=(a,b)

已知a,b，求ax+by=(a,b)一組可行解的演算法即為擴充套件歐幾里得演算法。

演算法流程

首先我們知道用來求最大公因數的歐幾里得演算法。

int gcd(int a,int b)
{
    if (!b) return a;
    else return gcd(b,a/b)
}

擴充套件歐幾里得其實是在歐幾里得演算法的基礎上執行的，時間複雜度也在log級別。
假設現在ax+by=(a,b)，那麼(b,a%b)=(a,b)，所以bx+(a%b)y=(a,b)
又因為a

%b=a−(a/b)∗b，所以
(a,b)=bx+(a−(a/b)∗b)y=bx+ay−(a/b)∗b∗y=ay+b(x−(a/b)∗y)
由此可以知道下一組滿足條件的解為x′=y,y′=x−(a/b)∗y
當b=0時，即a為最大公因數。這時只需要保證a的係數即x=1即可，y取任意值都不影響，不妨設y=0。
這就是整個擴充套件歐幾里得演算法的過程。

int exgcd(int a,int b,int &x,int &y)
{
    if (!b)
    {
        x=1,y=0;
        return a;
    }
    int ans=exgcd(b,a%b
 
,x,y);
    int t=x;
    x=y;
    y=t-(a/b)*y;
    return ans;
}

其實擴充套件歐幾里得還有更簡單的寫法（from fye）

void exgcd(int a,int b,int &x,int &y,int &d)
{
    if (!b) x=0,y=1,d=a;
    else exgcd(b,a%b,y,x),y-=(a/b)*x;
}

實際問題

實際上，在用exgcd解決問題的時候還有一些問題。

一般型等式

比如要求ax+by=c的值，首先可以將等式兩遍同時除以(a,b)，如果不能整除則無解，因為c無論如何不為ab的倍數。
那麼現在等式變成了a

′x+b′y=c′，(a′,b′)=1，為了滿足擴歐的條件使a′x+b′y=(a′,b′)=1，可以將等式兩遍同時除以c，得到axc+byc=1。這樣就可以直接利用exgcd求出xc和yc的值，然後再乘回去就可以了。
還有就是，用exgcd求出來的想x,y滿足這樣的性質{|x|+|y|}min，證明戳這裡
求出來可行解了之後再將x不斷-b/(a,b)，y不斷+a/(a,b)，解仍然成立。

逆元

ax≡1(modp),(a,p)=1，則x為a的逆元。
將等式化簡即可得到ax−py=1，即為exgcd的經典模型。