乘法逆元

何為乘法逆元？

對於兩個數a,p$a,p$若gcd(a,p)=1$gcd(a,p)=1$則一定存在另一個數b$b$，使得ab≡1(modp)$ab\equiv 1(\mathrm{mod}p)$，並稱此時的b$b$為a$a$關於1$1$模p$p$的乘法逆元。我們記此時的b$b$為inv(a)$inv(a)$或a−1$a^{-1}$。

舉個例子：5×3≡1(mod14)$5\times 3\equiv 1(\mathrm{mod}14)$，我們稱此時的3$3$為5$5$關於1$1$模14$14$的乘法逆元。

如何求乘法逆元？

方法一：費馬小定理

費馬小定理：當有兩數a,p$a,p$滿足gcd(a,p)=1$gcd(a,p)=1$時，則有ap≡a(modp)$a^p\equiv a(\mathrm{mod}p)$。

變一下形：a⋅ap−2≡1(modp

)$a\cdot a^{p-2}\equiv 1(\mathrm{mod}p)$。是不是和上面的乘法逆元的定義是相似的？

所以，我們可以使用快速冪求出ap−2$a^{p-2}$，即求出a$a$的逆元。

方法二：擴充套件歐幾里得演算法

由定義可知：ab≡1(modp)$ab\equiv 1(\mathrm{mod}p)$，這個式子等價於已知a,p$a,p$求一個二元一次不定方程ab=kp+1$ab=kp+1$，移一下項得：ab−kp=1$ab-kp=1$。這東西不是擴充套件歐幾里得演算法？

方法三：遞推計算階乘的逆元

當我們要計算一大串連續的階乘的逆元時，採用費馬小定理或擴充套件歐幾里得演算法就有可能超時，所以我們必須採用一個更快的演算法。

令fi=i!$f_i=i!$，則可得：

inv(f

i+1)≡inv(fi⋅(i+1))(modp)$$inv(f_{i+1})\equiv inv(f_i\cdot (i+1))(\mathrm{mod}p)$$
我們將(i+1)$(i+1)$乘過去，則有：inv(fi)≡inv(fi+1)⋅(i+1)(modp)$$inv(f_i)\equiv inv(f_{i+1})\cdot (i+1)(\mathrm{mod}p)$$
自然我們就得出遞推式。

乘法逆元的作用？

我們由費馬小定理可得：a⋅ap−2≡1(modp)$a\cdot a^{p-2}\equiv 1(\mathrm{mod}p)$。

所以：

ap−2≡a−1≡1a(modp)$$a^{p-2}\equiv a^{-1}\equiv \frac{1}{a}(\mathrm{mod}p)$$
我們又知道模運算的乘法結合律：ab≡b⋅a−1≡b⋅ap−2(modp)

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