typedef long long LL;
LL exgcd(LL a,LL b,LL &x,LL &y){
     if(a==0&&b==0) return -1;
     if(b==0) { x=1;y=0; return a;  }
     LL d=exgcd(b,a%b,y,x);
     y-=a/b*x;
     return d;
}
LL MLE(LL a,LL b,LL mod){  // 返回(a*x)%mod=b 的最小正整數解
    LL x,y;
    LL gcd=exgcd(a,mod,x,y);
    if(b%gcd!=0) return -1;  //若返回-1，則該方程無解
    x*=b/gcd;
    mod/=gcd;
    if(mod<0) mod=-mod;
    LL ans=x%mod;
    if(ans<=0) ans+=mod;  //其他解為： ans+i*mod （i為整數）
    return ans;
}
LL x0,y0,kx,ky;
bool LE(LL a,LL b,LL c){   //解線性方程ax+by=c
    LL x1,y1;
    LL gcd=exgcd(a,b,x1,y1);
    if(c%gcd)return false;  //無整數解
    x0=x1*c/gcd,y0=y1*c/gcd;
    kx=b/gcd,ky=-a/gcd;
    return true;   //有解，解集為：（x0+kx*t,y0+ky*t） t為整數
}
 

用擴充套件歐幾里德演算法求解模線性方程的方法：

    同餘方程 ax≡b (mod n)對於未知數 x 有解，當且僅當 gcd(a,n) | b。且方程有解時，方程有 gcd(a,n) 個解。

    求解方程 ax≡b (mod n) 相當於求解方程 ax+ ny= b, (x, y為整數)

    設 d= gcd(a,n)，假如整數 x 和 y，滿足 d= ax+ ny(用擴充套件歐幾里德得出)。如果 d| b，則方程

    a* x0+ n* y0= d， 方程兩邊乘以 b/ d，(因為 d|b，所以能夠整除)，得到 a* x0* b/ d+ n* y0* b/ d= b。
    所以 x= x0* b/ d，y= y0* b/ d 為 ax+ ny= b 的一個解，所以 x= x0* b/ d 為 ax= b (mod n ) 的解。

    ax≡b (mod n)的一個解為 x0= x* (b/ d ) mod n，且方程的 d 個解分別為 xi= (x0+ i* (n/ d ))mod n {i= 0... d-1}。

    設ans=x*(b/d),s=n/d;

    方程ax≡b (mod n)的最小整數解為：(ans%s+s)%s;

    相關證明：

    證明方程有一解是: x0 = x'(b/d) mod n;
    由 a*x0 = a*x'(b/d) (mod n)
         a*x0 = d (b/d) (mod n)   (由於 ax' = d (mod n))
                 = b (mod n)

    證明方程有d個解: xi = x0 + i*(n/d)  (mod n);
    由 a*xi (mod n) = a * (x0 + i*(n/d)) (mod n)
                             = (a*x0+a*i*(n/d)) (mod n)
                             = a * x0 (mod n)             (由於 d | a)
                             = b

首先看一個簡單的例子：

5x=4(mod3)

解得x = 2,5,8,11,14.......

由此可以發現一個規律，就是解的間隔是3.

那麼這個解的間隔是怎麼決定的呢？

如果可以設法找到第一個解，並且求出解之間的間隔，那麼就可以求出模的線性方程的解集了.

我們設解之間的間隔為dx.

那麼有

a*x = b(mod n);

a*(x+dx) = b(mod n);

兩式相減，得到:

a*dx(mod n)= 0;

也就是說a*dx就是a的倍數，同時也是n的倍數，即a*dx是a 和 n的公倍數.為了求出dx,我們應該求出a 和 n的最小公倍數,此時對應的dx是最小的.

設a 和 n的最大公約數為d,那麼a 和 n 的最小公倍數為(a*n)/d.

即a*dx = a*n/d;

所以dx = n/d.

因此解之間的間隔就求出來了.