為了介紹擴充套件歐幾里得，我們先介紹一下貝祖定理：

           即如果a、b是整數，那麼一定存在整數x、y使得ax+by=gcd(a,b)。

換句話說，如果ax+by=m有解，那麼m一定是gcd(a,b)的若干倍。（可以來判斷一個這樣的式子有沒有解）

有一個直接的應用就是 如果ax+by=1有解，那麼gcd(a,b)=1；

要求出這個最大公因數gcd(a,b)，我們最容易想到的就是古老悠久而又相當強大的輾轉相除法：

int gcd(int a,int b)
{
    return b==0?a:gcd(b,a%b);
}

但是，對於上面的式子ax+by=m來說，我們並不僅僅想要知道有沒有解，而是想要知道在有解的情況下這個解到底是多少。

所以，擴充套件歐幾里得

        當到達遞迴邊界的時候，b==0，a=gcd(a,b) 這時可以觀察出來這個式子的一個解：a*1+b*0=gcd(a,b)，x=1,y=0，注意這時的a和b已經不是最開始的那個a和b了，所以我們如果想要求出解x和y，就要回到最開始的模樣。

        初步想法：由於是遞迴的演算法，如果我們知道了這一層和上一層的關係，一層一層推下去，就可以推到最開始的。類似數學上的數學歸納法。

        假設當前我們在求的時a和b的最大公約數，而我們已經求出了下一個狀態：b和a%b的最大公因數，並且求出了一組x1和y1使得                          b*x1+(a%b)*y1=gcd

（注意在遞迴演算法中，永遠都是先得到下面一個狀態的值）

這時我們可以試著去尋找這兩個相鄰狀態的關係：

首先我們知道：a%b=a-(a/b)*b；帶入：

b*x1 + (a-(a/b)*b)*y1

= b*x1 + a*y1 – (a/b)*b*y1

= a*y1 + b*(x1 – a/b*y1) = gcd   發現 x = y1 , y = x1 – a/b*y1

這樣我們就得到了每兩個相鄰狀態的x和y的轉化，就可以在求gcd的同時對x和y進行求值了hiahia

-----------------------------------------------------------------我是分割線哇----------------------------------------------------------------------------

板子板子：

#include<iostream>
#include<cstdio>
#include<cmath>

using namespace std;

int exgcd(int a,int b,int &x,int &y)//擴充套件歐幾里得演算法
{
    if(b==0)
    {
        x=1;y=0;
        return a;  //到達遞迴邊界開始向上一層返回
    }
    int r=exgcd(b,a%b,x,y);
    int temp=y;    //把x y變成上一層的
    y=x-(a/b)*y;
    x=temp;
    return r;     //得到a b的最大公因數
}

呼呼