歐拉定理和費馬小定理有許多重要的應用，常見的我們可以用它來化簡計算

費馬小定理是歐拉定理的特例

一、費馬小定理

證明：

由(a,m) = 1,知m不是a的素因數；又因為m不是1、2、3...m-1的素因數，所以a，2a，3a...(m-1)a都不能被m整除

又因為a，2a，3a...(m-1)a兩兩不同余（假設pa≡qa(mod m) <==> m|a(p-q),而(a,m)=1,p-q < m,不可能被整除），

所以它們分別屬於模m中除[0]以外的m-1個剩余類中，即存在某種一一映射

[1] = [aa1],[2]=[aa2]......,其中a1,a2...am-1互不相同且屬於1~m-1

由同余的性質一知，aa1*aa2*...*aam-1 = a^(m-1) *(m-1)!≡(m-1)!(mod m)

由於m為素數,((m-1)!,m) = 1

由同余的性質二，兩邊消去(m-1)!,得a^(m-1)≡1(mod m)

二、歐拉定理

證明：

記φ(m)=r,用a1,a2....ar表示1,2...m-1中於m互素的數

因為(a,m)=1,且a1,a2...ar都是於m互素的數，所以aa1,aa2....aar於m均是互素

易知，aa1,aa2....aar分屬於r個不同的剩余類(可參考費馬大定理的說明)

(aa1,m)=1 <==> (aa1modm,m)=1 <==> aa1modm是一個與m互素的數，在a1,a2...ar中

這樣也能建立起某種一一映射

由同余的性質一得aa1*aa2*...*ar≡a1*a2...*ar(mod m)，即a^r*(a1a2...ar)≡a1a2...ar(mod m)

又因為a1,a2...ar都與m互素，由同余得性質二，a^r≡1(mod m),即a^φ(m)≡1(mod m)

費馬小定理與歐拉定理