費馬小定理

設m為素數，a為任意整數，且$(a, m)=1$，則$a^{m-1} \equiv 1(mod \ m)$.

證明：

構造一個群$G<{[1],[2], \cdots, [m-1]}, \equiv *>$，下證這是一個群.

封閉性:對任意[i]、[j]，假如不封閉，因為集合是除[0]外的剩余類，所以$[i][j]=0$

$\because [i][j]=0 \quad [ij]=0,則m | ij，又因為 (i,m)=1 \quad (j,m)=1 \therefore (ij,m)=1 \quad 矛盾\therefore \quad G是群$

單位元：顯然，[1]

逆元：對任意[k]，m為素數，$\because (k, m)=1 \quad \therefore ks+mt=1 \quad m|ks-1 \quad \therefore ks \equiv 1(mod \ m) \quad \therefore存在[s]$

由拉格朗日定理推論：有限群G的每個元素的階均能整除G的階

設p是a的階，$a^p \equiv [1](mod \ m)$，$\because p | m-1 \therefore a^{m-1}={(a^p)}^t \equiv 1(mod \ m)$

歐拉定理

設m為正整數，a為任意整數，且(a, m)=1，則$a^{\varphi (m)}\equiv 1(mod \ m)$，其中$\varphi (m)$表示1，2，...，m中與m互素的數的個數.

證明：

把與m互素的剩余類作為一個集合H(即簡化剩余類)，$H={[a_1],[a_2], \cdots ,[a_{\varphi(n)}]}$.

構造群$G=<H, \equiv *>$.

封閉性、單位元、逆元與上面證明類似.

用群論證明費馬小定理和歐拉定理