greatest common divisor

又稱輾轉相除法

演算法描述：給定兩個正整數m和n，求他們的最大公因子，即能夠同時整除m和n的最大正整數。

演算法步驟：

1. 若m<n，那麼m↔n，為了確保m>n。
2. 求m除以n得到的餘數r。
3. 若r為0，演算法結束，n為答案。
4. 若r不為0，則m←n，n←r，再跳轉到步驟2。

其中←為賦值符號，右邊的值賦值給左邊； ↔為交換符號，兩個變數交換它們的值。

演算法正確性證明：

在經過步驟1，2之後，m，n，r滿足下列關係：

m=qn+r

其中q是使等式成立的一個整數。比如42=2*20+2。

如果r=0，那麼m是n的倍數，所以n是m和n的最大公因子；如果r≠0，那麼整除m和n的任何數也一定整除r=m-qn(可以想象假設某個公因子是e，那麼e的整數倍減去e的整數倍，得到的結果還是e的整數倍)，所以{m，n}和{n，r}的公因子集合是一樣的。所以m←n，n←r是合理的，又因為r是m除以n的餘數，所以r<n，那麼演算法是收斂的。

演算法實現（python）：

m=int(input("Please input a number m"))
n=int(input("Please input a number n"))
#step 1
if m<n:
    _t=m
    m=n
    n=_t

def gcd(m,n):
    #step 2
    _r=m % n

    #step 3
    if _r==0:
        return n

    #step 4
    else:
        m=n
        n=_r
        return gcd(m,n)
if __name__=="__main__":
    print(gcd(m,n))
    

 

現在已經有了實現求最大公約數的演算法，只需要稍微修改一下就可以求最小公倍數（Least Common Multiple）了。因為假設m和n的最大公約數是r，用字母c表示最小公倍數，就有：

程式碼如下：

def lcm(m,n):
    return int(m*n/gcd(m,n))

參考文獻：

計算機程式設計藝術（The Art of Computer Programming），作者Donald Knuth