13.1-1 按照圖13-1(a) 的方式，畫出關鍵字集合{1，2，... ，15 }上高度為 3 的完全二叉搜尋樹。以三種不同方式想圖中加入 NIL 葉結點並對各結點著色，使所得的紅黑樹的黑高分別為 2，3 和 4。

ANSWER：

如上圖的二叉樹（省略哨兵 T.nil ）

黑高為 2 ：令深度為 0，2 的結點為黑，深度為 1，3 的結點為紅。

            3 ：令深度為 0，2，3的及誒點為黑，深度為 1 的結點為紅。

            4 ：全部結點均為黑。

13.1-2 對圖 13-1 中的紅黑樹，畫出對其呼叫 TREE-INSERT 操作插入關鍵字 36 後的結果。如果插入的結點被標為紅色，所得的樹是否還是一棵紅黑樹？如果該結點被標為黑色呢？

ANSWER：如果插入的結點被標為紅色，所得的樹仍是紅黑樹；如果被標為黑色，則不是紅黑樹。

13.1-3 定義一棵鬆弛紅黑樹為滿足紅黑性質 1、3、4 和 5 的二叉搜尋樹。換句話說，根結點可以是紅色或是黑色。考慮一棵根結點為紅色的鬆弛紅黑樹 T。如果將 T 的根結點標為黑色而其他不變，那麼所得到的是否還是一棵紅黑樹？

ANSWER：必須是。

13.1-4 假設將一棵紅黑樹的每一個紅結點“吸收”到它的黑色父結點中，使得紅結點的子結點變成黑色父結點的子結點（忽略關鍵字的變化）。當一個黑結點的所有紅色子結點都被吸收後，它可能的度為多少？所得的樹的葉結點深度如何？

ANSWER：

度可能為 2：如果左右兒子本來就全是黑色結點。

                3：左右兒子結點情況一黑一紅。

                4：左右兒子結點均為紅色。

13.1-5 證明：在一棵紅黑樹中，從某結點 x 到其後代葉結點的所有簡單路徑中，最長一條至多是最短一條的 2 倍。

ANSWER：假設該結點的黑高為 bh(x)，則有 bh(x) 個黑結點，紅結點數目 ≤ bh(x)。

∴最短一條路徑（全黑）s ≥ bh(x) ，最長一條路徑（黑紅兼備）t = 紅 + 黑 ≤ bh(x) + bh(x) ≤ 2s。得證！

13.1-6 在一棵黑高為 k 的紅黑樹中，內部結點最多可能有多少？最少可能多少個？

ANSWER：

最多：樹的高度為 2k-1（紅黑高度分別佔 k, k-1），結點個數為 2^(2k) - 1個。

最少：樹的高度為 k-1（全黑），結點個數為 2^(k-1) - 1個。

13.1-7 試描述一棵含有 n 個關鍵字的紅黑樹，使其紅色內部結點個數與黑色內部結點個數的比值最大，這個比值是多少？該比值最小的樹又是怎樣呢？比值是多少？

ANSWER：

最大比值為 2：每個黑結點的左右兒子均為紅結點。

最小比值為0：全部結點均為黑色。