剛剛接觸到紅黑樹的時候，感覺很奇怪，二叉樹已經很好用了，為什麼要發明紅黑樹？？看到演算法導論的目錄才明白，二叉樹在執行查詢，刪除操作的時候，時間複雜度為O（h）,這時間複雜度與二叉樹的高度有關，如果二叉樹高度較小，自然很方便，但是如果遇到樹的高度較高時（所有的資料都在一根樹枝上），二叉樹和連結串列就差別不大了。所以發明了紅黑樹，紅黑樹是一種平衡搜尋樹，紅黑樹的高度最多為2lg(n+1)，時間複雜度為O（h'）,h'<2lg(n+1)，所以紅黑樹相對於二叉樹而言效能更好。

首先說明紅黑樹的五大性質：

1.每個節點不是黑色就是紅色，非黑即紅。

2.根節點一定是黑色。

3.每個葉節點一定是黑色。

4.每個紅色節點的兩個子節點為黑色。

5.對於每個節點，該節點到所有後代葉節點的路徑上黑色節點的數目相同。

然後定義：紅黑樹的節點的黑高指得是節點x某支路上黑色節點的數目（不包括節點x，但是包括葉節點（NIL））。

引理：一棵具有n個節點的紅黑樹，其樹高至多為2lg（n+1）

證明：

方法1（數學歸納法）：

首先我們要證明節點x的紅黑樹具有2^bh(x)-1個內部節點（bh(x)表示節點x的黑高）

1.當具有節點x的紅黑樹的樹高為0時，黑高也為0，則內部節點為0，符合上述公式。

2.假設當節點x的紅黑樹高度不為0時，不妨設黑高為bh(x)，則其子節點的黑高為bh(x)或bh(x)-1，假設其子節點滿足上述式子，則有

其子節點至少有2^（bh(x)-1）-1個內部節點，則節點x的內部節點可得2^(bh(x)-1)-1+2^(bh(x)-1)-1+1=2^bh(x)-1,結果與上述結論相同，故命題得證。

由紅黑樹的性質4可知，黑色節點一定比紅色節點多，則樹高h<=2bh(x),則有n>2^(h/2)-1,化簡可得h<=2lg(n+1)。

方法2：

假設紅黑樹如上圖所示，現將紅色節點與其黑色的父節點合併，合併後的紅黑樹圖如下圖所示：

這是一顆2-3-4樹，這棵樹的高度等於黑高bh(x)，每個節點最少包含兩個最多包含四個節點，則該樹內部節點數目2^(bh(x))-1<n<4^(bh(x))-1,得到了證明一同樣的結論，同理可知h<2bh(x),同上可知h<2lg.(n+1)。