理解雜湊表及其查詢
【例7.4】11個元素的關鍵碼分別為 18，27，1，20，22，6，10，13，41，15，25。選取關鍵碼與元素位置間的函式為f(key)=key mod 11
1．通過這個函式對11個元素建立查詢表如下：
2．查詢時，對給定值kx依然通過這個函式計算出地址，再將kx與該地址單元中元素的關鍵碼比較，若相等，查詢成功。
雜湊表與雜湊方法：選取某個函式，依該函式按關鍵碼計算元素的儲存位置，並按此存放；查詢時，由同一個函式對給定值kx計算地址，將kx與地址單元中元素關鍵碼進行比，確定查詢是否成功，這就是雜湊方法(雜湊法)；雜湊方法中使用的轉換函式稱為雜湊函式(雜湊函式)；按這個思想構造的表稱為雜湊表
對於n個數據元素的集合，總能找到關鍵碼與存放地址一一對應的函式。若最大關鍵為m，可以分配m個數據元素存放單元，選取函式f(key)=key即可，但這樣會造成儲存空間的很大浪費，甚至不可能分配這麼大的儲存空間。通常關鍵碼的集合比雜湊地址集合大得多，因而經過雜湊函式變換後，可能將不同的關鍵碼對映到同一個雜湊地址上，這種現象稱為衝突(Collision)，對映到同一雜湊地址上的關鍵碼稱為同義詞。可以說，衝突不可能避免，只能儘可能減少。所以，雜湊方法需要解決以下兩個問題：
1．構造好的雜湊函式
（1）所選函式儘可能簡單，以便提高轉換速度。
（2）所選函式對關鍵碼計算出的地址，應在雜湊地址集中大致均勻分佈，以減少空間
浪費。
2．制定解決衝突的方案。
7．4．2 構造雜湊函式的常用方法
一、直接定址法
Hash(key)=a·key+b (a、b為常數)
即取關鍵碼的某個線性函式值為雜湊地址，這類函式是一一對應函式，不會產生衝突，但要求地址集合與關鍵碼集合大小相同，因此，對於較大的關鍵碼集合不適用。
【例7.5】關鍵碼集合為{100，300，500，700，800，900}，選取雜湊函式為
Hash(key)=key/100，則存放如下：
二、除留餘數法
Hash(key)=key mod p (p是一個整數)
即取關鍵碼除以p的餘數作為雜湊地址。使用除留餘數法，選取合適的p很重要，若雜湊表表長為m，則要求p≤m，且接近m或等於m。p一般選取質數，也可以是不包含小於20質因子的合數。
三、數字分析法
設關鍵碼集合中，每個關鍵碼均由m位組成，每位上可能有r種不同的符號。
【例7.6】
【例7.7】若關鍵碼是僅由英文字母組成的字串，不考慮大小寫，則每位上可能有26種不同的字母，所以r=26。
數字分析法根據r種不同的符號，在各位上的分佈情況，選取某幾位，組合成雜湊地址。所選的位應是各種符號在該位上出現的頻率大致相同。
【例7.8】有一組關鍵碼如下：
3 4 7 0 5 2 4 第1、2位均是“3和4”，第3位也只有
3 4 9 1 4 8 7 “7、8、9”，因此，這幾位不能用，餘
3 4 8 2 6 9 6 下四位分佈較均勻，可作為雜湊地址選用。
3 4 8 5 2 7 0 若雜湊地址是兩位，則可取這四位中的任
3 4 8 6 3 0 5 意兩位組合成雜湊地址，也可以取其中兩
3 4 9 8 0 5 8 位與其它兩位疊加求和後，取低兩位作哈
3 4 7 9 6 7 1 希地址。
3 4 7 3 9 9
─────────────
① ② ③ ④ ⑤ ⑥ ⑦
四、平方取中法
對關鍵碼平方後，按雜湊表大小，取中間的若干位作為雜湊地址。
7．4．3 處理衝突的方法
一、開放定址法
所謂開放定址法，即是由關鍵碼得到的雜湊地址一旦產生了衝突，也就是說，該地址已經存放了資料元素，就去尋找下一個空的雜湊地址，只要雜湊表足夠大，空的雜湊地址總能找到，並將資料元素存入。
找空雜湊地址方法很多，下面介紹三種：
1．線性探測法
Hi=(Hash(key)+di) mod m ( 1≤i < m )
其中：
Hash(key)為雜湊函式
m為雜湊表長度
di 為增量序列1，2，……，m-1，且di=i
【例7.9】關鍵碼集為 {47，7，29，11，16，92，22，8，3}，雜湊表表長為11，
Hash(key)=key mod 11，用線性探測法處理衝突，建表如下：
47、7、11、16、92均是由雜湊函式得到的沒有衝突的雜湊地址而直接存入的；
Hash(29)=7，雜湊地址上衝突，需尋找下一個空的雜湊地址：
由H1=(Hash(29)+1) mod 11=8，雜湊地址8為空，將29存入。另外，22、8同樣在雜湊地址上有衝突，也是由H1找到空的雜湊地址的；
而Hash(3)=3，雜湊地址上衝突，由
H1=(Hash(3)+1) mod 11=4 仍然衝突；
H2=(Hash(3)+2) mod 11=5 仍然衝突；
H3=(Hash(3)+3) mod 11=6 找到空的雜湊地址，存入。
線性探測法可能使第i個雜湊地址的同義詞存入第i+1個雜湊地址，這樣本應存入第i+1個雜湊地址的元素變成了第i+2個雜湊地址的同義詞，……，因此，可能出現很多元素在相鄰的雜湊地址上“堆積”起來，大大降低了查詢效率。為此，可採用二次探測法，或雙雜湊函式探測法，以改善“堆積”問題。
2．二次探測法
Hi=(Hash(key)±di) mod m
其中：
Hash(key)為雜湊函式
m為雜湊表長度，m要求是某個4k+3的質數(k是整數)
仍以上例用二次探測法處理衝突，建表如下：
對關鍵碼尋找空的雜湊地址只有3這個關鍵碼與上例不同，
Hash(3)=3，雜湊地址上衝突，由
H1=(Hash(3)+12) mod 11=4 仍然衝突；
H2=(Hash(3)-12) mod 11=2 找到空的雜湊地址，存入。
3．雙雜湊函式探測法
Hi=(Hash(key)+i*ReHash(key)) mod m (i=1，2，……，m-1)
其中：
Hash(key)，ReHash(key)是兩個雜湊函式，
m為雜湊表長度
雙雜湊函式探測法，先用第一個函式Hash(key)對關鍵碼計算雜湊地址，一旦產生地址衝突，再用第二個函式ReHash(key)確定移動的步長因子，最後，通過步長因子序列由探測函式尋找空的雜湊地址。
比如，Hash(key)=a時產生地址衝突，就計算ReHash(key)=b，則探測的地址序列為
H1=(a+b) mod m，H2=(a+2b) mod m，……，Hm-1=(a+(m-1)b) mod m
二、鏈地址法
設雜湊函式得到的雜湊地址域在區間[0，m-1]上，以每個雜湊地址作為一個指標，指向一個鏈，即分配指標陣列ElemType *eptr[m]；建立m個空連結串列，由雜湊函式對關鍵碼轉
換後，對映到同一雜湊地址i的同義詞均加入到*eptr[i]指向的連結串列中。
【例9.l3】關鍵碼序列為47,7,29,11,16,92,22,8,3,50,37,89,94,21，雜湊函式為
Hash(key)=key mod 11
用拉鍊法處理衝突，建表如圖9.21。圖9.21拉鍊法處理衝突時的雜湊表(向連結串列中插入元素均在表頭進行)
三．建立一個公共溢位區
設雜湊函式產生的雜湊地址集為[0，m-1]，則分配兩個表：
一個基本表ElemType base_tbl[m]；每個單元只能存放一個元素；
一個溢位表ElemType over_tbl[k]；只要關鍵碼對應的雜湊地址在基本表上產生衝突，則所有這樣的元素一律存入該表中。查詢時，對給定值kx通過雜湊函式計算出雜湊地址i，先與基本表的base_tbl[i]單元比較，若相等，查詢成功；否則，再到溢位表中進行查詢。
7．4．4 雜湊表的查詢分析
雜湊表的查詢過程基本上和造表過程相同。一些關鍵碼可通過雜湊函式轉換的地址直接找到，另一些關鍵碼在雜湊函式得到的地址上產生了衝突，需要按處理衝突的方法進行查詢。在介紹的三種處理衝突的方法中，產生衝突後的查詢仍然是給定值與關鍵碼進行比較的過程。所以，對雜湊表查詢效率的量度，依然用平均查詢長度來衡量。
查詢過程中，關鍵碼的比較次數，取決於產生衝突的多少，產生的衝突少，查詢效率就高，產生的衝突多，查詢效率就低。因此，影響產生衝突多少的因素，也就是影響查詢效率的因素。影響產生衝突多少有以下三個因素：
1．雜湊函式是否均勻；
2．處理衝突的方法；
3．雜湊表的裝填因子。
分析這三個因素，儘管雜湊函式的“好壞”直接影響衝突產生的頻度，但一般情況下，我們總認為所選的雜湊函式是“均勻的”，因此，可不考慮雜湊函式對平均查詢長度的影響。就線性探測法和二次探測法處理衝突的例子看，相同的關鍵碼集合、同樣的雜湊函式，但在資料元素查詢等概率情況下，它們的平均查詢長度卻不同：
線性探測法的平均查詢長度ASL=(5×1+3×2+1×4)/9=5/3
二次探測法的平均查詢長度ASL=(5×1+3×2+1×2)/9=13/9
填入表中的元素個數
雜湊表的裝填因子定義為：α=────────────
雜湊表的長度
α是雜湊表裝滿程度的標誌因子。由於表長是定值，α與“填入表中的元素個數”成正比，所以，α越大，填入表中的元素較多，產生衝突的可能性就越大；α越小，填入表中的元素較少，產生衝突的可能性就越小。
實際上，雜湊表的平均查詢長度是裝填因子α的函式，只是不同處理衝突的方法有不同的函式。以下給出幾種不同處理衝突方法的平均查詢長度：
雜湊方法存取速度快，也較節省空間，靜態查詢、動態查詢均適用，但由於存取是隨機的，因此，不便於順序查詢。