題目

給定一長為n的繩子，要求把繩子剪成m段（m，n都是整數且n>1，m>1）,每段繩子的長度記為ｋ[0], k[1], k[2]…,k[m]。請問k[0]*k[1]*k[2]….*k[m]可能的最大乘積是多少？例如，當繩子的長度是８時，可以剪成２＊３＊３的三段得到最大的乘積。

解法

• 動態規劃
  從下往下分析問題，從下往上解決問題。先計算當繩子長度為２，３，４等這些較小的容易看出的最大值，再以此往上計算ｎ為較大值時乘積的最大值。演算法的時間複雜度是O(n2)$O(n^2)$同時需要O(n)$O(n)$的空間複雜度。

#include <iostream>

using namespace std;

int
 
 maxProductAfterCutting(int length) {
  if(length < 2)
    return 0;
  if(length  == 2)
    return 1;
  if(length == 3)
    return 2;

  int* products = new int[length+1];
  products[0] = 0;
  products[1] = 1;
  products[2] = 2;
  products[3] = 3; // n == 4的初始值

  int max;
  for(int i = 4; i <= length
 
; ++i) {
    max = 0;
    // find the maximum among all possible value
    for(int j = 1; j < i/2; ++j) {
      int product = products[i] * products[i-j];
      if(max < product) {
        max = product;
      }
      products[i] = max;
    }
  }
  max = products[length];
  delete[] products;
  return
 
 max;

}

• 貪心演算法
  從數學角度證明貪心策略的正確性，然後應用數學公式推導，以O(1)$O(1)$的時間複雜度和空間複雜度計算該問題的最優化值。

  數學證明：對與長度為n的繩子，當其剪為長度為k和n-k的兩段繩子時，其乘積為k(n−k)$k(n-k)$，通過求導可以發現當k接近n/2時，其乘積最大。以此推及到n=4和n=5的情況（n<4的情況上述已經計算）。當n=4，則k=2時取得最大乘積；當n=5，則k=3時取得最大乘積。此時乘積為3(n−3)$3(n-3)$。因此當n>=5$n>=5$時，應該儘可能多地剪出長度為3的繩子段。（任何比5大的整數切分成兩段的結果最終都會歸結到繩子段長為3,4,5的情況）

int maxProductAfterCutting2(int length) {
  if(length < 2) return 0;
  if(length == 2) return 1;
  if(length == 3) return 2;

  // most cut of length 3
  int timesOf3 = length/3;
  // if remained length equals to 4
  if(length - timesOf3 * 3 == 1)
    timesOf3 -= 1;
  int timeOf2 = (length - timesOf3*3)/2;

  return (int)(pow(3,timesOf3)) * (int)(pow(2, timeOf2));
}