• 問題： 給定一個數列，例如【−2, 1, −3, 4, −1, 2, 1, −5, 4】， 求一個連續的數列使得數列內的元素和最大， 示例中最大子數列應該是【4, −1, 2, 1】, 求和值為6。

• 這個問題是可以衍生到一些變種問題， 如尋找數列中最大乘積序列，且要求序列中，相鄰元素間隔不超過限定值等， 常出現在筆試面試程式設計題中。

• 該問題最早於1977年提出，但是直到1984年才被Jay Kadane 發現了線性時間的最優解法，所以演算法雖然長度很短，但其實並不容易理解。

• 演算法描述：

  • 遍歷該陣列， 在遍歷過程中， 將遍歷到的元素依次累加起來， 當累加結果小於或等於0時， 從下一個元素開始，重新開始累加。
  • 累加過程中， 要用一個變數(max_so_far)記錄所獲得過的最大值
  • 一次遍歷之後， 變數 max_so_far 中儲存的即為最大子片段的和值。

此處為python 程式碼 ， 變數A 傳入陣列。

def max_subarray(A):
    max_ending_here = max_so_far = 0
    for x in A:
        max_ending_here = max(0, max_ending_here + x)
        max_so_far = max(max_so_far, max_ending_here)
    return max_so_far
 

• 首先， 題目中有一個隱含的設定， 最大子片段是可以為空的， 空片段的和值是0。 這一點必須要明確， 不然會無法理解演算法的正確性， 所以當給定的數列中，求和為負數的時候，例如【-2，1， -3】， 演算法會返回最大求和值0， 因為預設該陣列的最大子片段是一個空序列。

• 理解此演算法的關鍵在於:

  • 最大子片段中不可能包含求和值為負的字首。 例如 【-2， 1，4】 必然不能是最大子數列， 因為去掉值為負的字首後【-2，1】， 可以得到一個更大的子數列 【4】、
  • 所以在遍歷過程中，每當累加結果成為一個非正值時， 就應當將下一個元素作為潛在最大子數列的起始元素， 重新開始累加。
  • 由於在累加過程中， 出現過的最大值都會被記錄， 且每一個可能成為 最大子數列起始元素
    的位置， 都會導致新一輪的累加， 這樣就保證了答案搜尋過程的完備性和正確性。