斐波那契數列：任意一個數是其前兩位數只和，即f(i)=f(i-1)+f(i-2),f(1)=f(2)=1

該數列也滿足黃金分割比例，所以又成為黃金分割數列

相關題目連結：Fibbonacci Number

#include<stdio.h>
int main()
{
    __int64 s[51]={0,1};
    int i;
    for(i=2;i<=50;i++)
        s[i]=s[i-2]+s[i-1];
    int n;
    while(scanf("%d",&n)&&(n!=-1))
        printf("%I64d\n",s[n]);
    return 0;
    
}
 

卡特蘭數：實際上就是出棧序列的種數，記得有一年藍橋杯考的卡特蘭數，當時還不知道，所以寫了32個for迴圈

令h(0)=1,h(1)=1，catalan數滿足遞推式:

h(n)= h(0)*h(n-1)+h(1)*h(n-2) + ... + h(n-1)h(0) (n>=2)

例如:h(2)=h(0)*h(1)+h(1)*h(0)=1*1+1*1=2

h(3)=h(0)*h(2)+h(1)*h(1)+h(2)*h(0)=1*2+1*1+2*1=5

另類遞推式:

h(n)=h(n-1)*(4*n-2)/(n+1);

遞推關係的解為:

h(n)=C(2n,n)/(n+1) (n=0,1,2,...)

遞推關係的另類解為:

h(n)=c(2n,n)-c(2n,n-1)(n=0,1,2,...)

更詳細說明：http://baike.so.com/doc/6127416-6340576.html

相關題目連結：小兔的棋盤

#include<stdio.h>
int main()
{
   __int64 a[36];
   int i,j;
   a[1]=1;
   for(i=2;i<=35;i++)
   a[i]=a[i-1]*1.0/(i+1)*(4*i-2);
   int n;
   int x=1;
   while(scanf("%d",&n))
   {
       if(n==-1)
       break;
   printf("%d %d %I64d\n",x,n,2*a[n]);
   x++;
   }
   return 0;
}
 

Bell數，又稱為貝爾數。
是以埃裡克·坦普爾·貝爾(Eric Temple Bell)為名的。
B(n)是包含n個元素的集合的劃分方法的數目。
B(0) = 1, B(1) = 1, B(2) = 2, B(3) = 5, 
B(4) = 15, B(5) = 52, B(6) = 203,..
遞推公式為，
B(0) = 1,
B(n+1) = Sum(0,n) C(n,k)B(k). n = 1,2,...
其中，Sum(0,n)表示對k從0到n求和，C(n,k) = n!/[k!(n-k)!]
-------------------------
Stirling數，又稱為斯特靈數。
在組合數學，Stirling數可指兩類數，都是由18世紀數學家James Stirling提出的。
第一類Stirling數是有正負的，其絕對值是包含n個元素的集合分作k個環排列的方法數目。
遞推公式為，
S(n,0) = 0, S(1,1) = 1.
S(n+1,k) = S(n,k-1) + nS(n,k)。
第二類Stirling數是把包含n個元素的集合劃分為正好k個非空子集的方法的數目。
遞推公式為，
S(n,n) = S(n,1) = 1,
S(n,k) = S(n-1,k-1) + kS(n-1,k).
將n個有區別的球的球放入k個無標號的盒子中( n>=k>=1，且盒子不允許為空)的方案數就是stirling數.(即含 n 個元素的集合劃分為 k 個集合的情況數)
　　遞推公式:
　　S(n,k) = 0 (k > n)
　　S(n,1) = 1 (k = 1)
　　s(n,k)=1 (n=k)
　　S(n,k) = S(n-1,k-1)+k*S(n-1,k) (n >= k >= 2)
　　分析：設有n個不同的球，分別用b1,b2,...,bn表示。從中取出一個球bn，bn的放法有以下兩種：
　　1.bn獨佔一個盒子，那麼剩下的球只能放在k-1個盒子裡，方案數為S（n-1,k-1);
　　2.bn與別的球共佔一個盒子，那麼可以將b1,b2,...,bn-1這n-1個球放入k個盒子裡，然後將bn放入其中一個盒子中，方案數為k*S(n-1,m).
-------------
bell數和stirling數的關係為，

每個貝爾數都是"第二類Stirling數"的和。

B(n) = Sum(1,n) S(n,k).
此部分轉載於http://www.cnblogs.com/xiaoxian1369/archive/2011/08/26/2154783.html 含HDU兩道例題

以下程式碼列出了斯特靈數

#include<stdio.h>
int main()//斯特靈數 
{
	char *w[100];
	int n;
    w[1]="1";
    w[2]="3";
    w[3]="13";
    w[4]="75";
    w[5]="541";
    w[6]="4683";
    w[7]="47293";
    w[8]="545835";
    w[9]="7087261";
    w[10]="102247563";
    w[11]="1622632573";
    w[12]="28091567595";
    w[13]="526858348381";
    w[14]="10641342970443";
    w[15]="230283190977853";
    w[16]="5315654681981355";
    w[17]="130370767029135901";
    w[18]="3385534663256845323";
    w[19]="92801587319328411133";
    w[20]="2677687796244384203115";
    w[21]="81124824998504073881821";
    w[22]="2574844419803190384544203";
    w[23]="85438451336745709294580413";
    w[24]="2958279121074145472650648875";
    w[25]="106697365438475775825583498141";
    w[26]="4002225759844168492486127539083";
    w[27]="155897763918621623249276226253693";
    w[28]="6297562064950066033518373935334635";
    w[29]="263478385263023690020893329044576861";
    w[30]="11403568794011880483742464196184901963";
    w[31]="510008036574269388430841024075918118973";
    w[32]="23545154085734896649184490637144855476395";
    w[33]="1120959742203056268267494209293006882589981";
    w[34]="54984904077825684862426868390301049750104843";
    w[35]="2776425695289206002630310219593685496163584253";
    w[36]="144199280951655469628360978109406917583513090155";
    w[37]="7697316738562185268347644943000493480404209089501";
    w[38]="421985466101260424678587486718115935844245187819723";
    w[39]="23743057231588741419119534567705900419786127935577533";
    w[40]="1370159636942236704917645663312384364386256449136591915";
    w[41]="81045623051154285047127402304207782853156976521592907421";
    w[42]="4910812975389574954318759599939388855544783946694910718603";
    w[43]="304646637632091740261982544696657582136519552428876887346813";
    w[44]="19338536506753895707368358095646384573117824953447578202397675";
    w[45]="1255482482235481041484313695469155949742941807533901307975355741";
    w[46]="83318804148028351409201335290659562069258599933450396080176273483";
    w[47]="5649570401186486930330812460375430692673276472202704742218853260093";
    w[48]="391229145645351175841837029639030040330277058716846008212321196523435";
    w[49]="27656793065414932606012896651489726461435178241015434306518713649426461";
    w[50]="1995015910118319790635433747742913123711612309013079035980385090523556363";

	while(~scanf("%d",&n))
	printf("%s\n",w[n]);
	return 0;
}