1. 不同型別的角點

在現實世界中，角點對應於物體的拐角，道路的十字路口、丁字路口等。從影象分析的角度來定義角點可以有以下兩種定義：

1. 角點可以是兩個邊緣的角點；
2. 角點是鄰域內具有兩個主方向的特徵點；

前者往往需要對影象邊緣進行編碼，這在很大程度上依賴於影象的分割與邊緣提取，具有相當大的難度和計算量，且一旦待檢測目標局部發生變化，很可能導致操作的失敗。早期主要有Rosenfeld和Freeman等人的方法，後期有CSS等方法。

基於影象灰度的方法通過計算點的曲率及梯度來檢測角點，避免了第一類方法存在的缺陷，此類方法主要有Moravec運算元、Forstner運算元、Harris運算元、SUSAN運算元等。

這篇文章主要介紹的Harris角點檢測的演算法原理，比較著名的角點檢測方法還有jianbo Shi和Carlo Tomasi提出的Shi-Tomasi演算法，這個演算法開始主要是為了解決跟蹤問題，用來衡量兩幅影象的相似度，我們也可以把它看為Harris演算法的改進。OpenCV中已經對它進行了實現，介面函式名為GoodFeaturesToTrack()。另外還有一個著名的角點檢測運算元即SUSAN運算元，SUSAN是Smallest Univalue Segment Assimilating Nucleus（最小核值相似區）的縮寫。SUSAN使用一個圓形模板和一個圓的中心點，通過圓中心點畫素與模板圓內其他畫素值的比較，統計出與圓中心畫素近似的像元數量，當這樣的像元數量小於某一個閾值時，就被認為是要檢測的角點。我覺得可以把SUSAN運算元看為Harris演算法的一個簡化。這個演算法原理非常簡單，演算法效率也高，所以在OpenCV中，它的介面函式名稱為：

FAST() 。

2. Harris角點

2.1 基本原理

人眼對角點的識別通常是在一個區域性的小區域或小視窗完成的。如果在各個方向上移動這個特徵的小視窗，視窗內區域的灰度發生了較大的變化，那麼就認為在視窗內遇到了角點。如果這個特定的視窗在影象各個方向上移動時，視窗內影象的灰度沒有發生變化，那麼視窗內就不存在角點；如果視窗在某一個方向移動時，視窗內影象的灰度發生了較大的變化，而在另一些方向上沒有發生變化，那麼，視窗內的影象可能就是一條直線的線段。

對於影象I(x,y) I(x,y)，當在點(x,y) (x,y)處平移(Δx,Δy) (Δx,Δy)後的自相似性，可以通過自相關函式給出：

c(x,y;Δx,

Δy)=∑ (u,v)∈W(x,y) w(u,v)(I(u,v)–I(u+Δx,v+Δy)) 2  c(x,y;Δx,Δy)=∑(u,v)∈W(x,y)w(u,v)(I(u,v)–I(u+Δx,v+Δy))2

其中，W(x,y) W(x,y)是以點(x,y) (x,y)為中心的視窗，w(u,v) w(u,v)為加權函式，它既可是常數，也可以是高斯加權函式。

根據泰勒展開，對影象I(x,y) I(x,y)在平移(Δx,Δy) (Δx,Δy)後進行一階近似：

I(u+Δx,v+Δy)=I(u,v)+I x (u,v)Δx+I y (u,v)Δy+O(Δx 2 ,Δy 2 )≈I(u,v)+I x (u,v)Δx+I y (u,v)Δy I(u+Δx,v+Δy)=I(u,v)+Ix(u,v)Δx+Iy(u,v)Δy+O(Δx2,Δy2)≈I(u,v)+Ix(u,v)Δx+Iy(u,v)Δy

其中，I x ,I y  Ix,Iy是影象I(x,y) I(x,y)的偏導數，這樣的話，自相關函式則可以簡化為：

c(x,y;Δx,Δy)≈∑ w (I x (u,v)Δx+I y (u,v)Δy) 2 =[Δx,Δy]M(x,y)[ΔxΔy ] c(x,y;Δx,Δy)≈∑w(Ix(u,v)Δx+Iy(u,v)Δy)2=[Δx,Δy]M(x,y)[ΔxΔy]

其中

M(x,y)=∑ w [I x (x,y) 2 I x (x,y)I y (x,y) I x (x,y)I y (x,y)I y (x,y) 2  ]=[∑ w I x (x,y) 2 ∑ w I x (x,y)I y (x,y) ∑ w I x (x,y)I y (x,y)∑ w I y (x,y) 2  ]=[AC CB ] M(x,y)=∑w[Ix(x,y)2Ix(x,y)Iy(x,y)Ix(x,y)Iy(x,y)Iy(x,y)2]=[∑wIx(x,y)2∑wIx(x,y)Iy(x,y)∑wIx(x,y)Iy(x,y)∑wIy(x,y)2]=[ACCB]

也就是說影象I(x,y) I(x,y)在點(x,y) (x,y)處平移(Δx,Δy) (Δx,Δy)後的自相關函式可以近似為二項函式：

c(x,y;Δx,Δy)≈AΔx 2 +2CΔxΔy+BΔy 2  c(x,y;Δx,Δy)≈AΔx2+2CΔxΔy+BΔy2

其中

A=∑ w I 2 x ,B=∑ w I 2 y ,C=∑ w I x I y  A=∑wIx2,B=∑wIy2,C=∑wIxIy

二次項函式本質上就是一個橢圓函式。橢圓的扁率和尺寸是由M(x,y) M(x,y)的特徵值λ 1 、λ 2  λ1、λ2決定的，橢賀的方向是由M(x,y) M(x,y)的特徵向量決定的，如下圖所示，橢圓方程為：

[Δx,Δy]M(x,y)[ΔxΔy ]=1 [Δx,Δy]M(x,y)[ΔxΔy]=1

橢圓函式特徵值與影象中的角點、直線（邊緣）和平面之間的關係如下圖所示。共可分為三種情況：

• 影象中的直線。一個特徵值大，另一個特徵值小，λ 1 ≫λ 2  λ1≫λ2或λ 2 ≫λ 1  λ2≫λ1。自相關函式值在某一方向上大，在其他方向上小。
• 影象中的平面。兩個特徵值都小，且近似相等；自相關函式數值在各個方向上都小。
• 影象中的角點。兩個特徵值都大，且近似相等，自相關函式在所有方向都增大。

  

根據二次項函式特徵值的計算公式，我們可以求M(x,y) M(x,y)矩陣的特徵值。但是Harris給出的角點差別方法並不需要計算具體的特徵值，而是計算一個角點響應值R R來判斷角點。R R的計算公式為：

R=detM−α(traceM) 2  R=detM−α(traceM)2

式中，detM detM為矩陣M=[AB B

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