時間複雜度計算
阿新 • • 發佈：2019-02-18
定義：如果一個問題的規模是n，解這一問題的某一演算法所需要的時間為T(n)，它是n的某一函式 T(n)稱為這一演算法的“時間複雜性”。
當輸入量n逐漸加大時，時間複雜性的極限情形稱為演算法的“漸近時間複雜性”。
我們常用大O表示法表示時間複雜性，注意它是某一個演算法的時間複雜性。大O表示只是說有上界，由定義如果f(n)=O(n)，那顯然成立f(n)=O(n^2)，它給你一個上界，但並不是上確界，但人們在表示的時候一般都習慣表示前者。
此外，一個問題本身也有它的複雜性，如果某個演算法的複雜性到達了這個問題複雜性的下界，那就稱這樣的演算法是最佳演算法。
“大O記法”：在這種描述中使用的基本引數是 n，即問題例項的規模，把複雜性或執行時間表達為n的函式。這裡的“O”表示量級 (order)，比如說“二分檢索是 O(logn)的”,也就是說它需要“通過logn量級的步驟去檢索一個規模為n的陣列”記法 O ( f(n) )表示當 n增大時，執行時間至多將以正比於 f(n)的速度增長。
這種漸進估計對演算法的理論分析和大致比較是非常有價值的，但在實踐中細節也可能造成差異。例如，一個低附加代價的O(n2)演算法在n較小的情況下可能比一個高附加代價的 O(nlogn)演算法執行得更快。當然，隨著n足夠大以後，具有較慢上升函式的演算法必然工作得更快。
O(1)
Temp=i;i=j;j=temp;以上三條單個語句的頻度均為1，該程式段的執行時間是一個與問題規模n無關的常數。演算法的時間複雜度為常數階，記作T(n)=O(1)。如果演算法的執行時間不隨著問題規模n的增加而增長，即使演算法中有上千條語句，其執行時間也不過是一個較大的常數。此類演算法的時間複雜度是O(1)。
O(n^2)
2.1. 交換i和j的內容
sum=0；（一次）
for(i=1;i<=n;i++)（n次 ）
for(j=1;j<=n;j++) （n^2次 ）
sum++；（n^2次 ）
解：T(n)=2n^2+n+1 =O(n^2)
2.2.for (i=1;i<n;i++)
y=y+1;①for (j=0;j<=(2*n);j++)x++;②}解： 語句1的頻度是n-1
語句2的頻度是(n-1)*(2n+1)=2n^2-n-1
f(n)=2n^2-n-1+(n-1)=2n^2-2
該程式的時間複雜度T(n)=O(n^2).O(n)
2.3.
a=0;
b=1;①
for (i=1;i<=n;i++) ②
{s=a+b; ③
b=a; ④a=s; ⑤
}
解：語句1的頻度：2,語句2的頻度： n,語句3的頻度： n-1,語句4的頻度：n-1,語句5的頻度：n-1,T(n)=2+n+3(n-1)=4n-1=O(n).
O(log2n )
2.4.
i=1;①
while (i<=n)
解： 語句1的頻度是1,設語句2的頻度是f(n),則：2^f(n)<=n;f(n)<=log2n取最大值f(n)= log2n,
T(n)=O(log2n )
O(n^3)
2.5.
for(i=0;i<n;i++)
{for(j=0;j<i;j++){
for(k=0;k<j;k++)
x=x+2;}
}
解：當i=m, j=k的時候,內層迴圈的次數為k當i=m時, j 可以取 0,1,...,m-1 , 所以這裡最內迴圈共進行了0+1+...+m-1=(m-1)m/2次所以,i從0取到n, 則迴圈共進行了: 0+(1-1)*1/2+...+(n-1)n/2=n(n+1)(n-1)/6所以時間複雜度為O(n^3).
我們還應該區分演算法的最壞情況的行為和期望行為。如快速排序的最 壞情況執行時間是 O(n^2)，但期望時間是 O(nlogn)。通過每次都仔細 地選擇基準值，我們有可能把平方情況 (即O(n^2)情況)的概率減小到幾乎等於 0。在實際中，精心實現的快速排序一般都能以 (O(nlogn)時間執行。
下面是一些常用的記法：
訪問陣列中的元素是常數時間操作，或說O(1)操作。一個演算法如 果能在每個步驟去掉一半資料元素，如二分檢索，通常它就取 O(logn)時間。用strcmp比較兩個具有n個字元的串需要O(n)時間。常規的矩陣乘演算法是O(n^3)，因為算出每個元素都需要將n對 元素相乘並加到一起，所有元素的個數是n^2。
指數時間演算法通常來源於需要求出所有可能結果。例如，n個元 素的集合共有2n個子集,所以要求出所有子集的演算法將是O(2n)的。指數演算法一般說來是太複雜了，除非n的值非常小，因為，在 這個問題中增加一個元素就導致執行時間加倍。不幸的是，確實有許多問題 (如著名的“巡迴售貨員問題” )，到目前為止找到的演算法都是指數的。如果我們真的遇到這種情況，通常應該用尋找近似最佳結果的演算法替代之。
當輸入量n逐漸加大時，時間複雜性的極限情形稱為演算法的“漸近時間複雜性”。
我們常用大O表示法表示時間複雜性，注意它是某一個演算法的時間複雜性。大O表示只是說有上界，由定義如果f(n)=O(n)，那顯然成立f(n)=O(n^2)，它給你一個上界，但並不是上確界，但人們在表示的時候一般都習慣表示前者。
此外，一個問題本身也有它的複雜性，如果某個演算法的複雜性到達了這個問題複雜性的下界，那就稱這樣的演算法是最佳演算法。
“大O記法”：在這種描述中使用的基本引數是 n，即問題例項的規模，把複雜性或執行時間表達為n的函式。這裡的“O”表示量級 (order)，比如說“二分檢索是 O(logn)的”,也就是說它需要“通過logn量級的步驟去檢索一個規模為n的陣列”記法 O ( f(n) )表示當 n增大時，執行時間至多將以正比於 f(n)的速度增長。
這種漸進估計對演算法的理論分析和大致比較是非常有價值的，但在實踐中細節也可能造成差異。例如，一個低附加代價的O(n2)演算法在n較小的情況下可能比一個高附加代價的 O(nlogn)演算法執行得更快。當然，隨著n足夠大以後，具有較慢上升函式的演算法必然工作得更快。
O(1)
Temp=i;i=j;j=temp;以上三條單個語句的頻度均為1，該程式段的執行時間是一個與問題規模n無關的常數。演算法的時間複雜度為常數階，記作T(n)=O(1)。如果演算法的執行時間不隨著問題規模n的增加而增長，即使演算法中有上千條語句，其執行時間也不過是一個較大的常數。此類演算法的時間複雜度是O(1)。
O(n^2)
2.1. 交換i和j的內容
sum=0；（一次）
for(i=1;i<=n;i++)（n次 ）
for(j=1;j<=n;j++) （n^2次 ）
sum++；（n^2次 ）
解：T(n)=2n^2+n+1 =O(n^2)
2.2.for (i=1;i<n;i++)
y=y+1;①for (j=0;j<=(2*n);j++)x++;②}解： 語句1的頻度是n-1
語句2的頻度是(n-1)*(2n+1)=2n^2-n-1
f(n)=2n^2-n-1+(n-1)=2n^2-2
該程式的時間複雜度T(n)=O(n^2).O(n)
2.3.
a=0;
b=1;①
for (i=1;i<=n;i++) ②
{s=a+b; ③
b=a; ④a=s; ⑤
}
解：語句1的頻度：2,語句2的頻度： n,語句3的頻度： n-1,語句4的頻度：n-1,語句5的頻度：n-1,T(n)=2+n+3(n-1)=4n-1=O(n).
O(log2n )
2.4.
i=1;①
while (i<=n)
解： 語句1的頻度是1,設語句2的頻度是f(n),則：2^f(n)<=n;f(n)<=log2n取最大值f(n)= log2n,
T(n)=O(log2n )
O(n^3)
2.5.
for(i=0;i<n;i++)
{for(j=0;j<i;j++){
for(k=0;k<j;k++)
x=x+2;}
}
解：當i=m, j=k的時候,內層迴圈的次數為k當i=m時, j 可以取 0,1,...,m-1 , 所以這裡最內迴圈共進行了0+1+...+m-1=(m-1)m/2次所以,i從0取到n, 則迴圈共進行了: 0+(1-1)*1/2+...+(n-1)n/2=n(n+1)(n-1)/6所以時間複雜度為O(n^3).
我們還應該區分演算法的最壞情況的行為和期望行為。如快速排序的最 壞情況執行時間是 O(n^2)，但期望時間是 O(nlogn)。通過每次都仔細 地選擇基準值，我們有可能把平方情況 (即O(n^2)情況)的概率減小到幾乎等於 0。在實際中，精心實現的快速排序一般都能以 (O(nlogn)時間執行。
下面是一些常用的記法：
訪問陣列中的元素是常數時間操作，或說O(1)操作。一個演算法如 果能在每個步驟去掉一半資料元素，如二分檢索，通常它就取 O(logn)時間。用strcmp比較兩個具有n個字元的串需要O(n)時間。常規的矩陣乘演算法是O(n^3)，因為算出每個元素都需要將n對 元素相乘並加到一起，所有元素的個數是n^2。
指數時間演算法通常來源於需要求出所有可能結果。例如，n個元 素的集合共有2n個子集,所以要求出所有子集的演算法將是O(2n)的。指數演算法一般說來是太複雜了，除非n的值非常小，因為，在 這個問題中增加一個元素就導致執行時間加倍。不幸的是，確實有許多問題 (如著名的“巡迴售貨員問題” )，到目前為止找到的演算法都是指數的。如果我們真的遇到這種情況，通常應該用尋找近似最佳結果的演算法替代之。