課程簡介

課程筆記

基於 MIT18.06線性代數課程筆記18：矩陣行列式的性質 中三個基礎性質推出的矩陣行列式公式。然後介紹了利用代數餘子式從n維到1維的遞迴計算行列式方法。

1. 2維矩陣的簡單例子

對於二維矩陣

A=[a,bc,d]
利用性質三對第一行進行拆分有
det(A)=|a,bc,d|=|a,0c,d|+|0,bc,d|
進一步利用性質三對第二行進行拆分有
det(A)=|a,0c,0|+|a,00,d|+|0,bc,0|+|0,b0,d|
利用性質6，性質7以及性質2可以得到二維矩陣的行列式公式
det(A)=0+ad−bc+0=ad−bc

2. 多維矩陣行列式計算

如上所述，對於n維方陣，分別對n行利用性質三進行拆分，可以得到det(A)為nn個矩陣行列式的和，其中每個矩陣每一行有且僅有一個元素來自於A，其他均為0。

利用性質6可知，若存在兩行同時選取某一列中的元素，則該矩陣的行列式為0，從而得到det(A)最多為n!個非零矩陣行列式的和（n列的排列組合）。

利用性質2和性質7可以求得n!個行列式為n個A中元素的乘積，正負由性質2決定。

簡單地說det(A)=∑p∈perm(1⋯n)±a1p1×a2p2×⋯×anpn。其中perm(1⋯n)為1到n的排列組合的集合，共n!個元素。

3. 代數餘子式

注意到

det(A)=∑p∈perm(1

⋯n)±a1p1×a2p2×⋯×anpn=∑i=1n±a1i∑p∈perm({1⋯n}/{i})±a2p1×a3p2×⋯×anpn−1
即可以對矩陣的任意一行進行拆分，將矩陣行列式寫成該行每一列的元素（共n個）與該元素的代數餘子式乘積的和。

元素aij的代數餘子式Cij定義為絕對值等於矩陣A除去第i行第j列剩餘的n−1維矩陣的行列式，i+j為偶數時為正，i+j為奇數時為負，從而有

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