對某個多項式函式，已知有給定的k + 1個取值點：

其中對應著自變數的位置，而對應著函式在這個位置的取值。

假設任意兩個不同的xj都互不相同，那麼應用拉格朗日插值公式所得到的拉格朗日插值多項式為：

其中每個為拉格朗日基本多項式（或稱插值基函式），其表示式為：

[3]

拉格朗日基本多項式的特點是在上取值為1，在其它的點上取值為0。

範例

假設有某個二次多項式函式，已知它在三個點上的取值為：

要求的值。

首先寫出每個拉格朗日基本多項式：

然後應用拉格朗日插值法，就可以得到的表示式（為函式的插值函式）：

此時代入數值就可以求出所需之值：。

證明

存在性

對於給定的k+1個點：，拉格朗日插值法的思路是找到一個在一點

在其它點取值為0的多項式容易找到，例如：

它在點取值為：。由於已經假定兩兩互不相同，因此上面的取值不等於0。於是，將多項式除以這個取值，就得到一個滿足“在取值為1，而在其他點取值都是0的多項式”：

這就是拉格朗日基本多項式。

我們的方法是這樣的，根據水平方向上的雙線性二次插值，由f(I,j)和f(i+1,j)求取f(x,j)，由

f(I,j+1)和f(i+1,j+1)求取f(x,j+1)，然後再根據這兩點的二次插值求取f(x,y)。

  根據前面的例題，我們可以很容易的求取各點插值如下：

                        f(x,j)=(i+1-x)f(I,j)+(x-i)f(i+1,j)               公式1-(4)

                      f(x,j+1)=(i+1-x)f(I,j+1)+(x-i)f(i+1,j+1)           公式1-(5)

                       f(x,y)=(i+1-y)f(x,j)+(y-j)f(x,j+1)               公式1-(6)

  以上三式綜合可以得到：

  f(x,y)=(j+1-y)(i+1-x)f(I,j)+(j+1-y)(x-i)f(i+1,j)+(y-j)(i+1-x)f(I,j+1)+(y-j)(x-i)f(i+1,j+1)     公式1-(7)

  我們令x=i+p,y=j+q得：

  f(i+p,j+q)=(1-q)(1-p)f(I,j)+p(1-q)f(i+1,j)+q(1-p)f(I,j+1)+pqf(i+1,j+1)                公式1-(8)

  上式即為數字影象處理中的雙線性二次插值公式。

                   http://blog.csdn.net/trent1985/article/details/45150677