曲線座標系與直角座標系轉換（二）——基礎：三次樣條插值原理（cubic spline）

阿新 • • 發佈：2019-01-08

一、引入

上一篇提到插值多項式，幾次函式就稱為幾次樣條函式如，

二次樣條函式為：f(x) = a*x^2 + b*x + c

三次樣條函式為：f(x) = a*x^3 + b^x^2 + c*x +d

x=[1,3,5,7,9];

y=[2,4,6,8,10];有5個節點，4個區間

對於二次樣條函式，需要求4*3 = 12個引數，根據已知端點（1，5）：2個方程；中間曲線方程在節點處的值必須相等（2，3，4）：3*2 = 6個方程；中間節點處的一階導數的值必須相等（2，3，4）：3個方程；假設第一個方程的二階導數為0，即a1=0，1個方程；一共 2+6+3+1=12個方程。

對於三次樣條函式4*4=16個引數，也就是找出16個方程就解決了問題，除與上面相同外，中間的二階導相等，3個方程，假設第一個方程的二階導數為0，即a1=0，b1=0,2個方程，一共16個方程。

二、原理

簡而言之，就是依然對每一個小區間進行插值(每一個區間都是一個三次多項式)，但是我們不需要依賴於導數的已知；由於我們要做的就是使得端點出滿足某種條件的光滑（一般來說，三次樣條插值就是要滿足二階導數連續），根據這個要求，我們就可以在未知導數的情況下推匯出樣條函式。具體方法看下面

樣條函式確定：

N個區間上，每個區間求三次樣條插值函式，顯然一共需要4n個條件

依然按照第一部分的方法，對中間點區間段，端點，這裡分為對中間的節點部分顯示條件，隱式條件

1. 顯式條件：

對於給定節點：

函式值：

對於樣條函式S(x)，滿足：

則n個區間各有2個條件，共2n個。

2. 隱式條件：

三次樣條插值，一次導數連續且二次導數連續，即滿足：

這樣，n個區間可以找出n-1對導數相等條件。至此，可以找出2n+2(n-1) = 4n-2個條件。

3. 邊界條件：

一般來說，在整個插值區間[a,b]上，會對邊界[a,b]端點有狀態的要求。這就是邊界條件，有了這兩個邊界條件，就得到了需要的4n個條件。

邊界條件一般有三種：

1）一階條件

    即，給出端點處的一階導數值。

2）二階條件

    即，給出端點處的二階導數值。

3）迴圈（週期）條件

    即，f(x)是一個周期函式時，端點a，b處的一階導數值、二階導數值分別相等。

具體解法：

設分段樣條函式s(x)在0到n個節點處的二階導數值，為：

那麼，在區間上，顯然是線性函式，且知：

那麼，顯然可以由線性插值，得到每一區間的線性表示式。

積分兩次，就可以得到每一個。

積分，得:每一區間上的樣條函式：

對於引入的兩個常數c1,c2,使用兩個邊界條件，自然可以求解得到：

對所有區間，整理後得到關於Mj-1,Mj,Mj+1的方程：