A Birthday

    思路：考慮費用流時把每個part拆成$n$個點，選擇第$i$個點的代表為放置$i$塊蛋糕和$(i - 1)$塊蛋糕的時間差，這個時間差是遞增的，因此在費用流的過程中必定會從小到大選擇
    具體建圖：左邊$n$個點代表$n$個蛋糕，右邊$m * n$個點代表$m$個part,每個part拆成$n$個點。源點向每個左邊的點連一條流量$1$費用$0$的邊，每個右邊的點向匯點連一條流量$1$費用$0$的編。每個蛋糕向可以放的兩個part的所有點連邊，連向第$i$個點的費用為$i^2 - (i - 1)^2$，流量為$1$。這樣求最小費用流既為答案。

B Board

    把格子$N$染色，第$i$行第$j$列格子的顏色為$(i + j)$ % $N$。那麼每次操作時，必定是$N$種不同的顏色都有一格被操作到，因此最後任何顏色格子的和必定是相等的。因此只需要記錄每種顏色格子的和，並算出缺失格子的顏色C，用其餘顏色的和減去顏色C的和即可

C Circle

    因為$(i,i+1)=1$且$(1,n)=1$，所以把$1...n$依次放進一個環，就可以啦。答案為$n$。

D 土龍弟弟

    下面會有一些定義。出此題是期望比賽的時候大家憑感覺得到結論，不證明。
    首先題目問的是在torus上扣若干個洞，所得曲面上的閉環的同倫等價類。（定義：torus：就是我們定義的地圖，形似甜甜圈。閉環：就是說土龍弟弟一天走的路徑。因為會回來所以叫閉環。同倫等價類：就是一個土龍弟弟的路線可能會變換。凡是可能屬於同一個土龍弟弟的兩條路線就是相互同倫的。題目問的就是最少能分成多少組使得組內相互同倫。）
    我們把扣掉的洞用線連起來，使得線之間不相交且按照線將曲面分割成若干簡單的部分。（簡單的部分：就是這一部分是你在紙上隨便畫個不自交的閉環得到的東西。簡單是因為這一個區域中所有的閉環都同倫，因為可以縮小到很小再移動到一起。）
    分割區域這一步需要小構造一下。大體思路就是每一行都畫一條橫的線，這線實際會被洞分割成多條線。然後有些區域是個環（即從左邊走到最右邊再向右回到最左邊），即並非簡單區域。這些區域再畫一條豎線。

    這樣分割後，一個閉環就可以用依次穿過的線的編號組成的字串來表示（除了記錄哪條線，方向也有用。並且由於是環，字串也是迴圈的。）然後消去相鄰相反括號（即連續的正穿和反穿同一條線的部分。因為每個區域都是簡單的，所以連續正穿和反穿中間的部分可以不斷收縮直到不穿過這條線，所以消去後所得的曲線和之前是同倫的。）最後為了判斷迴圈串相等要用最小表示法。
    證明：我們要證的是同倫當且僅當消去相鄰相反括號後的序列迴圈相等。
    假設a經過消括號得到（不能再消的）$b$，顯然a和b是同倫的，因為每一步都同倫。假設$a'$消括號得到$b'$。如果$b$和$b^{}$

    最後注意沒有洞是特殊情況。題面裡除去了這種情況。其實torus上扣若干洞後的基本群總是free group，但是沒扣洞時的基本群是$Z^2$（平面整數格點加法群）。

E Growth

把獎勵的$x$拿出來從小到大排序，得到$x_1,x_2,...,x_n$。
把獎勵的$y$拿出來從小到大排序，得到$y_1,y_2,...,y_n$。
用 $v[i][j]$ 表示$a$值到達$x_i$，$b$值達到$y_i$時接下來每天可以得到的獎勵。
$v[i][j] = v[i - 1][j] + v[i][j - 1] - v[i - 1][j - 1] + t[i][j]$
其中 $t[i][j]$ 為滿足$x=i，y=j$的獎勵的總和。
用 $f[i][j]$ 表示$a$值達到$x_i$，$b$值達到$y_j$時已經拿到的獎勵的最大值。
$f[i][j] + (x[i + 1] - x[i] - 1) * t[i][j] + t[i + 1][j] -> f[i + 1][j]$
$f[i][j] + (y[j + 1] - y[j] - 1) * t[i][j] + t[i][j + 1] -> f[i][j + 1]$
最後統計一下答案就可以了。

F kingdom

    $f[i]$代表$i$個點時的答案，$g[i][j]$代表若干顆樹加起來，$size$和為$i$，每棵樹$size<=j$時，這些樹的代價和最大是多少
    從$1$到$n$列舉$i$，在$i$固定時列舉心腹的影響力大小更新$f[i]$，然後用類似揹包的思路更新$g[i][1]~g[i][i]$
    複雜度$O(N^2)$

G Matrix

    $w$個格子的重心的座標為$（\frac{∑x_iw_i}{∑w_i}, \frac{∑y_iw_i}{∑w_i})$。
    那麼其實我們只要維護$∑x_iw_i，∑y_iw_i，∑w_i$就可以了。
    假設我們現在有一個頂點為$(x, y)$的三角形，我們想要推到頂點為$(x, y+1)$的三角形，觀察兩者之間的差異，會發現在推過去的過程中，其實就是刪去了一個斜條，又加入了一個斜條。
    同理，從$(x, y)$到$(x+1, y)$其實只是刪去了兩個斜條，加上了底上的橫條，而這些關鍵的值都是可以通過字首和的方法維護。

H Mountain

    考慮山中最高的一座，最優操作一定是從第一座山的左下角開始不停地往上爬，然後從最高的山不停地往下爬爬到最後一座山的右下角。
    所以答案為最高山的高度$*2$。

I 清明夢超能力者黃YY

    首先每條路徑從LCA處分開可以拆成兩條鏈
    假設鏈$A->B$執行了第$i$次染色操作，假設$A$是$B$的祖先，那麼我們在$B$點加入一個"插入$i$"的事件，在$A$的父親點加入一個"刪除i"的事件
    然後$dfs$整顆樹求解，每個點維護一個線段樹。處理一個點時先合併所有兒子的線段樹，然後再處理這個點上的事件，得到線段樹之後詢問第$K$大值既可得到答案。
    複雜度分析：

Node* merge(Node* a, Node* b) {
    if (a == NULL) return b;
    if (b == NULL) return a;
    a->sum += b->sum;
    a->child[0] = merge(a->child[0], b->child[0]);
    a->child[1] = merge(a->child[1], b->child[1]);
    return a;
}

    考慮以上的線段樹合併，每次合併會減少一個區間。而在事件點插入、刪除的時候會產生至多$log$個區間，因此複雜度為