一、斐波那契數列（遞歸VS動態規劃）

1、斐波那契數列——遞歸實現（python語言）——自頂向下

遞歸調用是非常耗費內存的，程序雖然簡潔可是算法復雜度為O(2^n)，當n很大時，程序運行很慢，甚至內存爆滿。

1 def fib(n):
2     #終止條件，也就是遞歸出口
3     if n == 0 or n == 1:
4         return 1
5     else:
6         #遞歸條件
7         return (fib(n-1) + fib(n - 2))

2、斐波那契數列——動態規劃實現（python語言）——自底向上

動態規劃——將需要重復計算的問題保存起來，不需要下次重新計算。對於斐波那契數列，算法復雜度為O（n）。

1 def dp_fib(n):
2     #初始化一個數組，用於存儲記錄計算的結果。
3     res = [None] * (n + 1)
4     #前兩項設置為1。
5     res[0] = res[1] = 1
6     #自底向上，將計算結果存入數組內。
7     for i in range(2, (n + 1)):
8         res[i] = res[i-1] + res[i-2]
9     return
 
 res[n]

3、方法概要

　　（1）構造一個公式，它表示一個問題的解是與它的子問題的解相關的公式：

　　（2）為這些子問題做索引，以便於它們能夠在表中更好的存儲與檢索（用數組存儲）。

　　（3）以自底向上的方法來填寫這個表格；首先填寫最小的子問題的解。

　　（4）這就保證了當我們解決一個特殊的子問題時，可以利用比它更小的所有可利用的子問題的解。

總之，因為在上世紀40年代（計算機普及很少時），這些規劃設計是與“列表”方法相關的，因此被稱為動態規劃——Dynamic Programing。

二、動態規劃算法——思想簡介

1、DP算法思想

　　（1）將待求解的問題分解稱若幹個子問題，並存儲子問題的解而避免計算重復的子問題，並由子問題的解得到原問題的解。

　　 （2）動態規劃算法通常用於求解具有某種最有性質的問題。

　　 （3）動態規劃算法的基本要素：最優子結構性質和重疊子問題。

　　　　　　最優子結構性質：問題的最優解包含著它的子問題的最優解。即不管前面的策略如何，此後的決策必須是基於當前狀態（由上一次的決策產生）的最優決策。

　　　　　　重疊子問題：在用遞歸算法自頂向下解問題時，每次產生的子問題並不總是新問題，有些問題被反復計算多次。對每個子問題只解一次，然後將其解保存起來，

　　　　　　　　　　　　以後再遇到同樣的問題時就可以直接引用，不必重新求解。

2、DP算法——解決問題的基本特征

　　（1）動態規劃一般求解最值（最優、最大、最小、最長）問題；

　　 （2）動態規劃解決 的問題一般是離散的，可以分解的（劃分階段的）。

　　 （3）動態規劃結局的問題必須包含最優子結構，即可以有（n-1）的最優推導出n的最優。

3、DP算法——解決問題的基本步驟

　　動態規劃算法的四個步驟：

　　　　（1）刻畫最優解的結構特性。（一維、二維、三維數組）；

　　　　（2）遞歸的定義最優解。（狀態轉移方程）

　　　　（3）以自底向上的方法來計算最優解。

　　　　（4）從計算得到的解來構造一個最優解。

4、求解例子——求階乘 n!

 1 #遞歸實現求階乘
 2 def multiply(n):
 3     if n == 0 or n == 1:
 4         return 1
 5     return n * multiply(n -1)
 6 
 7 
 8 #動態規劃實現求階乘
 9 def dp_multiply(n):
10     temp = [None] * (n + 1)
11     temp[0] = 1
12     temp[1] = 1
13     for i in range(2, n + 1):
14         temp[i] = i * temp[i - 1]
15     return temp[n]

動態規劃——DP算法（Dynamic Programing）