【讀書筆記】CSAPP ch2

阿新 • • 發佈：2019-05-04

兼容求反使用 c++ floor 溢出書寫 asc star

第二章信息的存儲和表示
- 信息存儲
  - 十六進制表示法
  - 字數據大小
  - 尋址和字節順序
  - 字符串的表示
  - 代碼表示
  - 布爾代數
  - C語言中的位運算
  - C語言中的邏輯運算
  - C語言中的移位運算
- 整數的表示
  - 整型數據類型
  - 數據編碼
  - 有符號數和無符號數之間的轉換
  - C語言中的有符號數和無符號數的轉換
  - 擴展數字的位表示
  - 截斷數字的位表示
- 整數的運算
  - 無符號數加法
  - 補碼加法
  - 補碼的非
  - 無符號乘法
  - 補碼乘法
  - 乘常數
  - 除以2的冪

第二章信息的存儲和表示

信息存儲

十六進制表示法

（略）

字數據大小

大多數計算機使用8bit的塊（字節）作為最小的可尋址的內存單元
字長指明了指針數據的標稱大小（？）
64位系統和32位系統向後兼容
C語言中有些數據類型的具體大小依賴於程序的編譯，C99引入int32_t

和int64_t類型，指明數據的長度
C標準對不同數據類型的數字的範圍設置了下界，沒有設置上界

尋址和字節順序

存儲規則：對象的地址是什麽？在內存中如何排列這些字節？
地址：多字節對象的存儲地址為連續字節序列的最小字節地址
排列方式：
- 小端法：低字節存在低地址
- 大端法：低字節存在高地址
- 默認規則：書寫時，地址從左往右表示從低到高，字節從左往右表示從高到低

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關心字節順序的場合：
- 網絡數據傳輸
- 閱讀字節序列
- 規避正常的類型系統，比如強制類型轉換或者聯合允許一種數據類型引用一個對象
代碼示例：按字節讀取內容

//按照字節打印數據中的內容
#include<bits/stdc++.h>
using namespace std;
typedef unsigned char *byte_pointer;
void show_bytes(byte_pointer start, int len){
    int i;
    for(i = 0; i < len; ++i){
        printf(" %.2x", start[i]);
    }
    printf("\n");
}
void show_int(int x){
    show_bytes((byte_pointer)&x, sizeof(int));
}
int main(){
    int num;
    cin >> num;
    show_int(num);
    return 0;
}

字符串的表示

用ASCII碼表示
ASCII碼只能表示英文字符，更一般的字符采用Unicode

代碼表示

二進制代碼不兼容，即不同系統上編譯得到的二進制代碼不同

布爾代數

運算：與、或、非
位向量
位向量表示有限集合

C語言中的位運算

將十六進制轉換為二進制執行二進制運算，然後將結果轉換為十六進制

C語言中的邏輯運算

0表示false，非0表示true
與位運算的不同：
- 位運算的參數是0或1
- 邏輯運算有短路原則

C語言中的移位運算

$[x_{\omega - 1}, x_{\omega - 2}, ..., x_0]$

左移：高位舍棄，低位補0 $ [x_{\omega - 1 - k}, x_{\omega - 2 - k}, ... x_0, \underbrace{0, \cdots, 0}_{k個}]$
右移：
- 算數右移：補符號位 $[\underbrace{x_{\omega - 1}, ..., x_{\omega -1}}_{k個}, x_{\omega -1}, x_{\omega - 2}, ..., x_k]$
- 邏輯右移：補0 $[\underbrace{0, ..., 0}_{k個}, x_{\omega - 1}, ..., x_k]$

整數的表示

整型數據類型

典型實現中，負數比正數多1個
C語言標準中規定（1）固定了數據大小（2）正數和負數對稱

數據編碼

假設整型數據類型有$\omega$位，將其表示記作位向量$\vec x = [x_{\omega - 1}, x_{\omega - 2}, \cdots, x_0]$

無符號數編碼

定義：

\[ B2U_{\omega}(\vec x)=\sum_{i=0}^{\omega - 1} x_i 2 ^ i \]

範圍：$Umax = \sum\limits_{i = 0}^{\omega - 1} 2 ^ i = 2 ^\omega -1$
示例：

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定理：$B2U_\omega(\vec x)$是一個雙射

補碼表示

定義：
\[ B2T_{\omega}(\vec x) = -x_{\omega - 1}2^{\omega - 1} + \sum_{i = 0}^{\omega - 2}x_i 2 ^i【註】補碼表示中，最高位被理解為負權 \]
【註】補碼表示中，最高位被理解為負權
範圍：$Tmin = -2^{\omega - 1}, Tmax = \sum\limits_{i = 0} ^ {\omega - 2}2 ^ i = 2 ^{\omega - 1} - 1$
示例：
定理：$B2T_\omega(\vec x)$是一個雙射

【註】

補碼的範圍中：$\vert Tmin\vert = \vert Tmax\vert + 1$
補碼和無符號數：$Umax = 2Tmax + 1$
所有機器都將有符號數表示為補碼，盡管C語言標準沒有明確規定

反碼表示

定義：
\[ B2O_{\omega}(\vec x) = -x_{\omega - 1}(2^{\omega - 1} - 1) + \sum_{i = 0}^{\omega - 2}x_i2^i \]

原碼表示

定義：

\[ B2S_\omega(\vec x) = (-1)^{x_{\omega - 1}}\times \sum_{i = 0}^{\omega - 2}x_i2^i \]

有符號數和無符號數之間的轉換

C語言強制類型轉換：不改變位級表示，只改變位的解釋方式

補碼轉無符號數

補碼轉為無符號數：
\[ T2U_\omega(x) = \begin{cases} x + 2 ^\omega & x < 0，\x & x \geq 0 \end{cases} \]
推導：

\[ \begin{align} B2U_\omega (\vec x) - B2T_\omega(\vec x) &= x_{\omega - 1}2^\omega \Longrightarrow B2U_\omega(\vec x) = x_{\omega - 1}2^\omega + B2T_\omega(\vec x)\T2U_\omega(x) &= B2U_\omega(T2B_\omega(x)) \&= x_{\omega -1}2^\omega + B2T_{\omega}(T2B_\omega)(x)\&= x_{\omega- 1}2^\omega + x \end{align} \]

理解：將補碼中最高位解釋為負權變為解釋為正權，將補碼看做無符號數時，正數不變，負數變為一個更大的數
示例：

無符號數轉補碼

轉換：

\[ U2T_{\omega}(x) = \begin{cases} u & u \leq Tmax_\omega \u - 2 ^ \omega & u > Tmax_\omega \end{cases} \]

推導（同補碼轉無符號數）

總結

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C語言中的有符號數和無符號數的轉換

C語言中默認數字都是有符號
聲明一個無符號常量需要在數字後面綴上‘U’
一個運算中同時出現有符號數和無符號數時，會被隱式轉換為無符號數

擴展數字的位表示

無符號數的0擴展

$u_\omega = [u_{\omega -1}, \cdots, u_0]\longrightarrow u'_{\omega + k} = [\underbrace{0, \cdots, 0}_{k個}, u_{\omega -1}, \cdots, u_0]$

補碼的符號擴展

定義

\[ x_\omega = [x_{\omega - 1}, \cdots, x_0]\longrightarrow x'_{\omega + k} = [\underbrace{x_{\omega-1}, \cdots, x_{\omega - 1}}_{k個}, x_{\omega - 1}, \cdots, x_0] \]

推導
\[ \begin{align} B2T_{\omega + 1}(\vec x') &= -x_{\omega -1}2^\omega + \sum_{i = 0}^{\omega - 1}x_i2^i\&= -x_{\omega - 1}2^\omega + x_{\omega -1}2^{\omega - 1} + \sum_{i=0}^{\omega - 2}x_i 2^i\&= -x_{\omega - 1}2^{\omega -1}+\sum_{i=0}^{\omega - 2}x_i 2^i\&= B2T_\omega(\vec x) \end{align} \]

截斷數字的位表示

無符號數的截斷

定理

\[ \vec x = [x_{\omega -1 }, \cdots, x_0], \vec x' = [x_{k-1}, \cdots, x_0]\x' = x \mod 2^k \]

推導：截斷的部分對應的位權為$2^{k}, \cdots, 2^\omega$

補碼的截斷

定理

\[ \vec x = [x_{\omega -1 }, \cdots, x_0], \vec x' = [x_{k-1}, \cdots, x_0]\x' = U2T_k(x\mod 2^k) \]

推導：以無符號數為中介

整數的運算

無符號數加法

定義運算$+_\omega^u$，將無符號數$x, y$相加後截斷$\omega$位，可以視作是一種模運算
無符號數加法：

對於滿足$0\leq x, y < 2^\omega$，有：
\[ x+_\omega^u y = \begin{cases} x + y & x + y < 2 ^ \omega \x + y - 2 ^ \omega & x + y \geq 2 ^\omega \end{cases} \]

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溢出判斷：對於$s = x+_\omega^uy$，當且僅當$s < x\quad or\quad s < y$時發生溢出
無符號數求反：模數加法形成了一個阿貝爾群，定義$x$的反為：

\[ -_\omega^u x = \begin{cases} x & x = 0\2^\omega - x & x > 0 \end{cases} \]

補碼加法

定義運算$+_\omega^t$，將有符號數$x, y$相加後截斷$\omega$位，可以視作是一種模運算
補碼加法：

\[ x+_\omega^t y=\begin{cases} x+y-2^\omega & 2 ^{\omega - 1} \leq x + y\x+y & -2^{\omega -1 } \leq x + y < 2 ^{\omega -1}\x+y+2^\omega &x + y < -2^{\omega -1} \end{cases} \]

【註】還是來源於截斷，當沒有溢出時，不發生截斷；溢出的情況只會是“正+正”或者“負+負”；“正+正”溢出時，符號位為0，數字部分的最高位變為1（進位導致增加的數字），截斷後原有的符號位會被丟棄，符號位變為1，真實的值為$x+y=2^{\omega -1} + \sum\limits_{i=0}^{\omega -2}x_i2^i$，截斷後的值為$x+_\omega^t y- = 2^{\omega -1} + \sum\limits_{i=0}^{\omega -2}x_i2^i$，因此$x+_\omega^t y = x + y - 2^\omega$；負溢出解釋相似。

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推導：

有符號和無符號具有相同的位級表示，因此先將參數轉換為無符號數，然後按照無符號數運算，最後將結果轉換為補碼
\[ \begin{align} x+_\omega^u y &= U2T_\omega(T2U_\omega(x) + T2U_\omega(y))\&= U2T_\omega((x_{\omega-1}2^\omega + y_{\omega - 1}2^\omega+x+y)\mod 2^\omega)\&= U2T_\omega((x+y)\mod 2^\omega) \end{align} \]
記$z=x+y, z' = z\mod 2^\omega, z'' = U2T_\omega(z')$

若$-2^{\omega}\leq z < -2^{\omega-1}$，則$z'=z+2^\omega$，因此$0\leq z' < 2^{\omega -1}$，故$z''=z'$

其余三種情況以此類推

補碼加法溢出判斷：“正+正=負”或者“負+負=正”

補碼的非

定義：對於滿足$Tmin\leq x \leq Tmax$的$x$

\[ -_\omega^tx=\begin{cases} Tmin &x = Tmin\-x & x>Tmin \end{cases} \]

根據位級表示計算補碼的非：
- 各位取反再加1：-5=[1011], [0100] + [0001] = [0101] = 5
- 將符號位（包含符號位）與最後一個1之間的位取反：5=[0101], [1011] = -5

無符號乘法

定義：$x*_\omega^uy=(xy)\mod 2^\omega$

補碼乘法

定義：$x*_\omega^t y=U2T_\omega({(xy)\mod 2^\omega})$
無符號和補碼乘法的位級等價性

給定長度為$\omega$的位向量$\vec x, \vec y$，用補碼形式定義的整數為$x, y$，用無符號定義的整數為$x', y'$，則：
\[ T2B_\omega(x*_\omega^t y) = U2B_\omega(x'*_\omega^u y') \]

證明
\[ \begin{align} (x'*y')\mod 2^\omega &= ((x_{\omega -1}2^\omega+x) \cdot (y_{\omega -1}2^\omega + y))\mod 2^\omega\&= (xy)\mod 2^\omega\T2U_\omega(x*_\omega^t y)&=T2U_\omega(U2T_\omega((x\cdot y)\mod 2^\omega))\&= x\cdot y \mod 2^\omega\T2B_\omega(x*_\omega^t y)&=U2B_\omega(T2U_\omega(x*_\omega^t y))\&=U2B_\omega((x\cdot y)\mod 2^\omega) \end{align} \]

乘常數

乘2的冪：$x\cdot 2^k = x << k$
乘以常數K：將常數K分解為{0，1}序列，然後通過移位和加法
計算$x\cdot K$
- 分解K：$K = [(0...0)(1...1)(0...0)...(1...1)]$
- 計算：考慮從$n$位到$m$位（$n \geq m$）為連續的1，有兩種計算方案：
  - $(x<<n) + (x <<(n-1))+...+(x<<m)$
  - $(x<<(n+1)) - (x<<m)$

除以2的冪

對於無符號數，$x>>k$產生數值$\lfloor x/2^k\rfloor$
對於有符號數

$x>0$時同無符號數

$x<0$時，$x>>k$產生數值$\lfloor x/2^k\rfloor$，$(x+(1<<k) - 1)>>k$產生數值$\lceil x/2^k\rceil$
偏置的設計：

註意到$\lceil x/y\rceil = \lfloor (x+y-1)/y\rfloor $，設$x = qy+r$，因此$\lfloor (x+y-1)/y\rfloor=q+\lfloor(r+y-1)/y\rfloor$，當$r$為0時，後面一項為0，當$r>0$時後面為1。取$y=2^k$，即可得到帶偏置的除法公式

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兼容求反使用 c++ floor 溢出書寫 asc star 目錄第二章信息的存儲和表示信息存儲十六進制表示法字數據大小尋址和字節順序

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第二章 信息的存儲和表示

信息存儲

十六進制表示法

字數據大小

尋址和字節順序

字符串的表示

代碼表示

布爾代數

C語言中的位運算

C語言中的邏輯運算

C語言中的移位運算

整數的表示

整型數據類型

數據編碼

無符號數編碼

補碼表示

反碼表示

原碼表示

有符號數和無符號數之間的轉換

補碼轉無符號數

無符號數轉補碼

總結

C語言中的有符號數和無符號數的轉換

擴展數字的位表示

無符號數的0擴展

補碼的符號擴展

截斷數字的位表示

無符號數的截斷

補碼的截斷

整數的運算

無符號數加法

補碼加法

補碼的非

無符號乘法

補碼乘法

乘常數

除以2的冪

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