Introduction to 3D Game Programming with DirectX 12 學習筆記之 --- 第二十二章：四元數（QUATERNIONS）

阿新 • • 發佈：2019-05-06

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原文:Introduction to 3D Game Programming with DirectX 12 學習筆記之 --- 第二十二章：四元數（QUATERNIONS）

學習目標

回顧復數，以及復數相乘如何在平面上表達旋轉；
理解四元數以及它的運算；
理解單位四元數如何表達3D旋轉；
學習如何轉換旋轉變量的表達；
學習如何對單位四元數線性差值，並且理解它等價於幾何上的3D角度差值；
熟悉DirectX Math庫中的四元數類和操作。

1 回顧復數

四元數可以看做是一個復數，所以我們先要回顧一下復數。本章的主要目標是展示一個復數P乘以一個單位復數，得到的是旋轉後的P。

1.1 定義

有很多種方法介紹復數，我們采用下面的方法，將它想象成一個2D點或者向量。
一對排序的實數z = (a, b)是一個復數。第一個部分叫實數部分，第二個部分是虛數部分。並且加減乘除定義如下：
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並且很容易證明實數的算術性質對復數也依然有效（交換律，結合律，分配率）（練習1）；

如果一個復數形式是(x, 0)，那麽它就是通過實數x定義，然後寫成(x, 0)；那麽任何實數都可以是一個復數，其虛數部分是0；觀察一個實數乘以一個復數x(a, b) = (x, 0)(a, b) = (xa, xb) = (a, b)(x, 0) = (a, b)x，這個形式可以讓我們回憶起變量-向量的乘法。
我們定義單位虛數i = (0, 1)，然後使用定義的復數乘法，i^2 = (0, 1)(0, 1) = (?1, 0) = ?1，所以i是方程x^2 = ?1的解。
復數z = (a, b)的復數共軛表示為 $z$

￣\overline{z}

\overline{z}

，並且

\overset{￣}{z} \overline{z}

= (a, ?b)；一個簡單的記住復數除法公式的方法是：分子和分母乘以分母的共軛，這樣分母就成為了一個實數：
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下面展示一個復數(a, b)可以寫為a + ib，我們有a = (a, 0), b = (b, 0)和i = (0, 1)，所以：
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使用a + ib形式，我們可以重做加減乘除：
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並且在這種形式下，z = a + ib的共軛復數為a - ib。

1.2 幾何解釋

我們將復數a + ib = (a, b)理解為幾何上的2D向量或者點（在復平面）；復數相加匹配到向量的相加：
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復數的絕對值或者長度由向量的長度來定義：

我們將長度為1的復數稱之為單位復數：
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1.3 極坐標表示和旋轉

因為復數可以看做是2D復平面的點或者向量，所以我們也可以將它表示到極坐標：
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後面的等式就是復數a + ib的極坐標表示。

令z1 = r1(cosθ1 + isinθ1), z2 = (cosθ2 + isinθ2)，那麽：

這裏使用了三角定理：

所以幾何上，z1z2的乘積表示長度為r1r2的向量旋轉了θ1 + θ2角度；如果其中r2為1，那麽乘積就表示將z1旋轉了θ2角度。如上圖，所以復數乘以單位復數，表示把前面的復數旋轉。

2 四元數代數

2.1 基本運算的定義

四個有序實數q = (x, y, z, w) = (q1, q2, q3, q4)是一個四元數，通常簡寫為q = (u, w) = (x, y, z, w)，並且我們稱u = (x, y, z)為虛數部分，w為實數部分。那麽加減乘除定義如下：
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乘法的定義看起來會比較奇怪，但是這些運算是定義，所以我們可以定義為我們想要的形式，並且這些形式很有用。矩陣的乘法定義一開始也看起來很奇怪，但是結果是它們很有用。
令p = (u, p4) = (p1, p2, p3, p4)並且q = (v, q4) = (q1, q2, q3, q4)，那麽u × v =(p2q3 – p3q2, p3q1 – p1q3, p1q2 – p2q1)並且u·v = p1q1 + p2q2 + p3q3。那麽組件形式下，四元數的乘積r = pq是：
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可以寫成矩陣乘法形式：

如果你偏愛行向量形式，取其轉置矩陣：

2.2 特殊乘積

令i = (1, 0, 0, 0), j = (0, 1, 0, 0), k = (0, 0, 1, 0)為四元數，那麽我們有一些特殊乘積，會讓我們回憶起叉積：
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這些等式是直接從四元數乘積公式得來的，比如：

2.3 特性

四元數的乘法不具備交換律，下圖證明ij = ?ji。四元數乘積具有結合律；所以四元數可以聯想為矩陣的乘積，具有結合律，不具有交換律。四元數e = (0, 0, 0, 1)用以乘法單位：
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四元數具有乘法分配律p(q + r) = pq + pr 和 (q + r)p = qp + rp。

2.4 轉化

我們將實數、向量與四元數通過下面的方式來關聯。令s是實數x，u = (x, y, z)是向量，那麽：
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可以說任意實數是一個有0向量的四元數，任意向量是一個具有0實數的四元數；另外單位四元數為1 = (0, 0, 0, 1)；一個四元數具有0實數稱之為純四元數（pure quaternion）。

使用四元數乘法的定義，一個實數乘以四元數是標量相乘，具有交換律：
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2.5 共軛和標範數

四元數q = (q1, q2, q3, q4) = (u, q4)的共軛由q定義：

也就是直接將虛數部位取反；相比於共軛復數，它具有下面特性：

其中q + q和qq* = q*q等於實數。

四元數的範數（長度），定義為：
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範數為1的四元數為單位四元數，範數具有下面的特性：

特性2表示2個單位四元數相乘，依然是單位四元數；如果||p|| = 1，那麽||pq|| = ||q||。

共軛和範數的特性可以直接通過定義推導出來，比如：
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2.6 逆（Inverses）

因為矩陣和四元數乘法不具有交換律，所以不能直接定義除法運算。但是每個非0四元數具有逆，令q = (q1, q2, q3, q4) = (u, q4)是一個非0的四元數，那麽它的逆通過 $q^{? 1} q^{-1}$ 來定義：
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很容易證明它是復數的逆：

可以看出如果q是單位四元數，那麽 $∣ ∣ q ∣ ∣^{2} = 1 ||q||^2 = 1$ ，並且 $q^{? 1} = q^{?} q^{-1} = q^*$ 。
並且符合下面的特性：

2.7 極坐標表達

如果q = (q1, q2, q3, q4) = (u, q4)是單位四元數，那麽：
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上圖表示，對於θ∈[0, π]，q4 = cosθ，根據三角定義sin2θ + cos2θ = 1：

所以

現在求單位向量：

所以u = sinθn，現在我們可以寫出單位四元數q = (u, q4)的極坐標表達，其中n是單位向量：

如果我們將?θ帶入等式中的θ，只是取反了向量部分：
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下節將會介紹，n表示旋轉的軸向。

3 單位四元數和旋轉

3.1 旋轉運算

令q = (u, w)是一個單位四元數並且令v是一個3D點或者向量，然後我們認為v是一個純四元數p = (v, 0)。當q是一個單位四元數時， $q^{? 1} = q^{?} q^{?1} = q^*$ 。回顧四元數乘法公式：
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現在考慮下面的乘法：

對其長度稍作簡化，我們把實數部分和向量部分分開計算。我們做下面的符號替換：

實數部分：

其中u · (v × u) = 0，因為根據叉積的定義，(v × u)是和u正交的。

虛數部分：
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其中對u × (u × v)應用了乘法定義：a × (b × c) = (a · c)b ? (a · b)c。所以：

計算的結果是一個向量或者點，其實數部分為0。所以隨後的等式中，我們放棄實數部分。
因為q是一個單位四元數，所以可以寫為：

帶入上面公式後：
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為了進一步簡化，我們帶入三角定義：

對比第三章的旋轉公式，我們發現它和旋轉公式基本一致，它將向量v沿著n軸旋轉2θ度。

所以我們定義四元數旋轉運算：

所以如果你要沿著n軸旋轉θ度，那麽你可以構建對於的旋轉四元數：
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然後應用到旋轉公式中 $R_{q} (v) R_q(v)$ 。

3.2 四元數旋轉運算到矩陣

令q = (u, w) = (q1, q2, q3, q4)是一個單位四元數，根據之前的公式，可以得到：
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上面公式的三個部分可以分別寫出矩陣形式：

將它們相加：

根據單位四元數的特性（各分組件平方的和為1），做下面的簡化：

最後矩陣可以寫為：

3.3 矩陣到四元數旋轉運算

給出一個旋轉矩陣：
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我們希望找到四元數q = (q1, q2, q3, q4)，我們的策略是，設置矩陣如下：

然後求解q1, q2, q3, q4；
首先將對角線上的元素相加（最終一個矩陣）：

然後組合對角相反的元素來求解q1, q2, q3：

如果q4 = 0，那上面這些公式就無意義，所以我們要找到R的最大對角元素來除，並且選擇矩陣元素的其他組合。加入R11是最大的對角：
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如果假設R22 或者 R33為最大對角線，計算模式類似。

3.4 組成

假設p和q是單位四元數，並且對於旋轉運算為Rp 和 Rq，令 $v^{^{'}} = R_{p} (v) v^{'} = R_p(v)$ ，那麽組合：
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因為p和q都是單位四元數，pq的乘積也是單位四元數||pq|| = ||p||||q|| = 1；所以pq也表示旋轉；也就是說說得到的旋轉為： $R_{q} (R_{p} (v)) R_q(R_p(v))$ 。

4 四元數的插值

因為四元數是由4個實數組成的，所以幾何上，可以把它看成是一個4D向量，單位四元數是4D在單位4D球體表面，除了叉積（只定義了3D向量）。特別的，點積也支持四元數，令p = (u, s)並且q = (v, t)，那麽：
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其中θ是兩個四元數之間的夾角，如果p和q是單位四元數，那麽p·q = cosθ，所以點積可以幫助我們考慮2個四元數之間的夾角。
出於動畫考慮，我們需要在兩個方向之間進行插值，為了插值四元數，我們需要在單位球體上進行弧度差值，所以也需要在單位四元數上差值。為何推導出公式，如下圖所示：我們需要在a和b中間差值tθ。我們需要找到權重c1和c2支持p = c1a + c2b，其中||p|| = ||a|| = ||b||。我們對兩個未知項創建兩個等式：
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然後可以導出下面的矩陣：

考慮到上面的矩陣等式Ax = b，其中A是可逆的，所以根據克萊姆法則 $x_{i} = \frac{d e t A_{i}}{d e t A} x_i = \frac{detA_i}{detA}$ ，其中 $A_{i} A_i$ 是通過交換A中第i列的向量到b，所以：

根據三角畢達哥斯拉定義和加法公式，我們可以得出：
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所以：

並且：

所以我們定義出球體差值公式：

如果將單位四元數看成4D向量的話，我們就可以求解四元數之間的夾角：θ = arccos(a · b)。
如果a和b之間的夾角趨近於0，sinθ趨近於0，那麽上面公式中的除法就會引發問題，會導致無限大的結果。這種情況下，對兩個四元數進行線性差值，並標準化結果，就是對小θ的一個很好的近似：
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觀察下圖，線性差值是通過將四元數差值投影回單位球體，其結果是一個非線性速率的旋轉。所以如果你對大角度使用線性差值的話，旋轉的速度會時快時慢。

我們現在支持一個四元數有趣的特性，(sq)= sq並且標量-四元數的乘積是具有交換律的，所以我們可以得出：
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我們得出q和-q表示的相同的旋轉，也可以通過其他方式來證明，如果

Rq表示圍繞n旋轉θ，R-q表示圍繞-n旋轉2π ? θ。在幾何上，一個在4D單位球體上的單位四元數和它的極坐標相反值?q代表的是相同的方向。下圖可以看出，這兩個旋轉到了相同的位置，只是一個旋轉了小角度，另一個旋轉了大的角度：
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所以b和-b表達了相同的方向，我們有2個選擇來差值：slerp(a, b, t) 或者 slerp(a, ?b, t)。其中一個是從更小的角度直接旋轉；另一個是從更大的角度來旋轉。如下圖所示，選擇哪個旋轉基於哪個旋轉在單位球體上的弧度：選擇小弧度代表選擇了更直接的路徑，選擇更長的弧度代表對物體有額外更多的旋轉[Eberly01]。
[Watt92]如果要在單位球面上找到四元數最短旋轉弧度，我們可以比較||a – b||2和||a – (?b)||2 = ||a + b||2。如果 ||a + b||2 < ||a – b||2我們就選擇-b，因為-b更接近a：
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// Linear interpolation (for small theta).
public static Quaternion LerpAndNormalize(Quaternion p, Quaternion q, float s)
{
	// Normalize to make sure it is a unit quaternion.
	return Normalize((1.0f - s)*p + s*q);
}

public static Quaternion Slerp(Quaternion p, Quaternion q, float s)
{
	// Recall that q and -q represent the same orientation, but
	// interpolating between the two is different: One will take the
	// shortest arc and one will take the long arc. To find
	// the shortest arc, compare the magnitude of p-q with the
	// magnitude p-(-q) = p+q.
	if(LengthSq(p-q) > LengthSq(p+q))
		q = -q;
		
	float cosPhi = DotP(p, q);
	
	// For very small angles, use linear interpolation.
	if(cosPhi > (1.0f - 0.001))
		return LerpAndNormalize(p, q, s);
		
	// Find the angle between the two quaternions.
	float phi = (float)Math.Acos(cosPhi);
	float sinPhi = (float)Math.Sin(phi);
	
	// Interpolate along the arc formed by the intersection of the 4D
	// unit sphere and the plane passing through p, q, and the origin of
	// the unit sphere.
	return ((float)Math.Sin(phi*(1.0- s))/sinPhi)*p + ((float)Math.Sin(phi*s)/sinPhi)*q;
}

5 DIRECTX MATH四元數函數

DirectX數學庫支持四元數。因為四元數的數據是4個實數，所以使用XMVECTOR類型類保存四元數。下面是通用的函數：

// Returns the quaternion dot product Q1·Q2.
XMVECTOR XMQuaternionDot(XMVECTOR Q1, XMVECTOR Q2);

// Returns the identity quaternion (0, 0, 0, 1).
XMVECTOR XMQuaternionIdentity();

// Returns the conjugate of the quaternion Q.
XMVECTOR XMQuaternionConjugate(XMVECTOR Q);

// Returns the norm of the quaternion Q.
XMVECTOR XMQuaternionLength(XMVECTOR Q);

// Normalizes a quaternion by treating it as a 4D vector.
XMVECTOR XMQuaternionNormalize(XMVECTOR Q);

// Computes the quaternion product Q1Q2.
XMVECTOR XMQuaternionMultiply(XMVECTOR Q1, XMVECTOR Q2);

// Returns a quaternions from axis-angle rotation representation.
XMVECTOR XMQuaternionRotationAxis(XMVECTOR Axis, FLOAT Angle);

// Returns a quaternions from axis-angle rotation representation, where the axis
// vector is normalized—this is faster than XMQuaternionRotationAxis.
XMVECTOR XMQuaternionRotationNormal(XMVECTOR NormalAxis,FLOAT Angle);

// Returns a quaternion from a rotation matrix.
XMVECTOR XMQuaternionRotationMatrix(XMMATRIX M);

// Returns a rotation matrix from a unit quaternion.
XMMATRIX XMMatrixRotationQuaternion(XMVECTOR Quaternion);

// Extracts the axis and angle rotation representation from the quaternion Q.
VOID XMQuaternionToAxisAngle(XMVECTOR *pAxis, FLOAT *pAngle, XMVECTOR Q);

// Returns slerp(Q1, Q2, t)
XMVECTOR XMQuaternionSlerp(XMVECTOR Q0, XMVECTOR Q1, FLOAT t);

6 旋轉Demo

本章中的Demo，我們在簡單的場景中運動一個骷髏頭。位置、方形和縮放都做動畫。我們用四元數來表達骷髏的方向，然後使用球面差值來對方向差值。使用線性差值對位置和縮放差值。它是對下一章中的角色動畫做預熱。
我們使用關鍵幀系統對骷髏做動畫：

struct Keyframe
{
	Keyframe();
	?Keyframe();
	float TimePos;
	XMFLOAT3 Translation;
	XMFLOAT3 Scale;
	XMFLOAT4 RotationQuat;
};

動畫是一些列通過實踐來排序的關鍵幀:

struct BoneAnimation
{
	float GetStartTime()const;
	float GetEndTime()const;
	void Interpolate(float t, XMFLOAT4X4& M)const;
	std::vector<Keyframe> Keyframes;
};

GetStartTime函數用來返回第一個幀的時間；GetEndTime函數返回最後一個關鍵幀的時間。它對於動畫什麽時候結束很有用，我們可以停止動畫。
現在有了一個關鍵幀列表，對於每兩個幀之間使用插值計算：

void BoneAnimation::Interpolate(float t, XMFLOAT4X4& M)const
{
	// t is before the animation started, so just return the first key frame.
	if( t <= Keyframes.front().TimePos )
	{
		XMVECTOR S = XMLoadFloat3(&Keyframes.front().Scale);
		XMVECTOR P = XMLoadFloat3(&Keyframes.front().Translation);
		XMVECTOR Q = XMLoadFloat4(&Keyframes.front().RotationQuat);
		XMVECTOR zero = XMVectorSet(0.0f, 0.0f, 0.0f, 1.0f);
		XMStoreFloat4x4(&M, XMMatrixAffineTransformation(S, zero, Q, P));
	}
	
	// t is after the animation ended, so just return the last key frame.
	else if( t >= Keyframes.back().TimePos )
	{
		XMVECTOR S = XMLoadFloat3(&Keyframes.back().Scale);
		XMVECTOR P = XMLoadFloat3(&Keyframes.back().Translation);
		XMVECTOR Q = XMLoadFloat4(&Keyframes.back().RotationQuat);
		XMVECTOR zero = XMVectorSet(0.0f, 0.0f, 0.0f, 1.0f);
		XMStoreFloat4x4(&M, XMMatrixAffineTransformation(S, zero, Q, P));
	}
	
	// t is between two key frames, so interpolate.
	else
	{
		for(UINT i = 0; i < Keyframes.size()-1; ++i)
		{
			if( t >= Keyframes[i].TimePos && t <= Keyframes[i+1].TimePos )
			{
				float lerpPercent = (t - Keyframes[i].TimePos) /
					(Keyframes[i+1].TimePos - Keyframes[i].TimePos);
					
				XMVECTOR s0 = XMLoadFloat3(&Keyframes[i].Scale);
				XMVECTOR s1 = XMLoadFloat3(&Keyframes[i+1].Scale);
				XMVECTOR p0 = XMLoadFloat3(&Keyframes[i].Translation);
				XMVECTOR p1 = XMLoadFloat3(&Keyframes[i+1].Translation);
				XMVECTOR q0 = XMLoadFloat4(&Keyframes[i].RotationQuat);
				XMVECTOR q1 = XMLoadFloat4(&Keyframes[i+1].RotationQuat);
				XMVECTOR S = XMVectorLerp(s0, s1, lerpPercent);
				XMVECTOR P = XMVectorLerp(p0, p1, lerpPercent);
				XMVECTOR Q = XMQuaternionSlerp(q0, q1, lerpPercent);
				XMVECTOR zero = XMVectorSet(0.0f, 0.0f, 0.0f, 1.0f);
				XMStoreFloat4x4(&M, XMMatrixAffineTransformation(S, zero, Q, P));
				
				break;
			}
		}
	}

下圖展示了兩個關鍵幀之間插值的結果：
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插值過後，我們構造了變換的矩陣，因為在著色器中我們最終使用矩陣做變換。XMMatrixAffineTransformation函數定義如下：

XMMATRIX XMMatrixAffineTransformation(
	XMVECTOR Scaling,
	XMVECTOR RotationOrigin,
	XMVECTOR RotationQuaternion,
	XMVECTOR Translation);

現在我們簡單的動畫系統已經完成，下一步是定義一些關鍵幀：

// Member data
float mAnimTimePos = 0.0f;
BoneAnimation mSkullAnimation;

//
// In constructor, define the animation keyframes
//
void QuatApp::DefineSkullAnimation()
{
	//
	// Define the animation keyframes
	//
	XMVECTOR q0 = XMQuaternionRotationAxis(XMVectorSet(0.0f, 1.0f, 0.0f, 0.0f),
		XMConvertToRadians(30.0f));
	XMVECTOR q1 = XMQuaternionRotationAxis(XMVectorSet(1.0f, 1.0f, 2.0f, 0.0f),
		XMConvertToRadians(45.0f));
	XMVECTOR q2 = XMQuaternionRotationAxis(XMVectorSet(0.0f, 1.0f, 0.0f, 0.0f),
		XMConvertToRadians(-30.0f));
	XMVECTOR q3 = XMQuaternionRotationAxis(XMVectorSet(1.0f, 0.0f, 0.0f, 0.0f),
		XMConvertToRadians(70.0f));
		
	mSkullAnimation.Keyframes.resize(5);
	mSkullAnimation.Keyframes[0].TimePos = 0.0f;
	mSkullAnimation.Keyframes[0].Translation = XMFLOAT3(-0.0f, 0.0f);
	mSkullAnimation.Keyframes[0].Scale = XMFLOAT3(0.25f, 0.25f, 0.25f);
	XMStoreFloat4(&mSkullAnimation.Keyframes[0].RotationQuat, q0);
	
	mSkullAnimation.Keyframes[1].TimePos = 2.0f;
	mSkullAnimation.Keyframes[1].Translation = XMFLOAT3(0.0f, 2.0f, 10.0f);
	mSkullAnimation.Keyframes[1].Scale = XMFLOAT3(0.5f, 0.5f, 0.5f);
	XMStoreFloat4(&mSkullAnimation.Keyframes[1].RotationQuat, q1);
	
	mSkullAnimation.Keyframes[2].TimePos = 4.0f;
	mSkullAnimation.Keyframes[2].Translation = XMFLOAT3(7.0f, 0.0f, 0.0f);
	mSkullAnimation.Keyframes[2].Scale = XMFLOAT3(0.25f, 0.25f, 0.25f);
	XMStoreFloat4(&mSkullAnimation.Keyframes[2].RotationQuat, q2);
	
	mSkullAnimation.Keyframes[3].TimePos = 6.0f;
	mSkullAnimation.Keyframes[3].Translation = XMFLOAT3(0.0f, 1.0f, -10.0f);
	mSkullAnimation.Keyframes[3].Scale = XMFLOAT3(0.5f, 0.5f, 0.5f);
	XMStoreFloat4(&mSkullAnimation.Keyframes[3].RotationQuat, q3);
	
	mSkullAnimation.Keyframes[4].TimePos = 8.0f;
	mSkullAnimation.Keyframes[4].Translation = XMFLOAT3(-0.0f, 0.0f);
	mSkullAnimation.Keyframes[4].Scale = XMFLOAT3(0.25f, 0.25f, 0.25f);
	XMStoreFloat4(&mSkullAnimation.Keyframes[4].RotationQuat, q0);
}

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最後一步使根據時間進行插值操作：

void QuatApp::UpdateScene(float dt)
{
	…
	// Increase the time position.
	mAnimTimePos += dt;
	
	if(mAnimTimePos >= mSkullAnimation.GetEndTime())
	{
		// Loop animation back to beginning.
		mAnimTimePos = 0.0f;
	}
	
	// Get the skull’s world matrix at this time instant.
	mSkullAnimation.Interpolate(mAnimTimePos, mSkullWorld);
	…
}

現在骷髏的世界矩陣每一幀都根據動畫來更新。

7 總結

一個有序的4個實時q = (x, y, z, w) = (q1, q2, q3, q4)是一個四元數，一般都簡寫成q = (u, w) = (x, y, z, w)，並且我們將u = (x, y, z)稱為虛向量部分，w為實數部分，進一步它的加減乘除定義為：
四元數乘法不滿足交換律，但是滿足結合律，四元數e = (0, 0, 0, 1)用以恒等式。四元數支持乘法分配律p(q + r) = pq + pr和(q + r)p = qp + rp；
我們可以將任意實數寫成四元數s = (0, 0, 0, s)，也可以將任意向量轉換成四元數u = (u, 0)。實數部分為0的四元數為純四元數。四元數可以和標量相乘：s(p1, p2, p3, p4) = (sp1, sp2, sp3, sp4) = (p1, p2, p3, p4)s，特殊的地方在於標量和四元數的乘法支持交換律；
共軛四元數和四元數範式的定義；
逆四元數的定義和計算；
單位四元數可以寫成極向量表達q = (u, q4)，其中n是單位向量；
如果q是一個單位四元數，那麽q = (sinθn,cosθ) for ||n|| = 1 and θ ∈ [0, π]，旋轉運算為 $R_{q} (v) = q v q^{? 1} = q v q^{?} R_q(v) = qvq^{-1} = qvq^*$ 表示將點/向量圍繞n旋轉2θ。Rq有矩陣表達，任何旋轉矩陣都可以轉換成四元數用來表達旋轉；
我們可以使用球面插值來對兩個用單位四元數表示的方向進行插值。

8 練習

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Introduction to 3D Game Programming with DirectX 12 學習筆記之 --- 第二十二章：四元數（QUATERNIONS）

學習目標

1 回顧復數

1.1 定義

1.2 幾何解釋

1.3 極坐標表示和旋轉

2 四元數代數

2.1 基本運算的定義

2.2 特殊乘積

2.3 特性

2.4 轉化

2.5 共軛和標範數

2.6 逆（Inverses）

2.7 極坐標表達

3 單位四元數和旋轉

3.1 旋轉運算

3.2 四元數旋轉運算到矩陣

3.3 矩陣到四元數旋轉運算

3.4 組成

4 四元數的插值

5 DIRECTX MATH四元數函數

6 旋轉Demo

7 總結

8 練習

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