學習目標

1. 理解如何用矩陣表示線性變換和仿射變換；
2. 學習在座標系中縮放，旋轉和移動幾何體；
3. 學習利用矩陣的乘法合併幾個變換矩陣；
4. 學習如何在座標系之間轉換，並且表示為轉換矩陣；斜體樣式
5. 學習如何利用DirectX Math庫提供的方法構造轉換矩陣。

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1 線性轉換

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1.1 線性轉換的定義

現在有方程 $\tau \left(v\right)$

= τ ( x , y , z ) = τ ( x 1 , y 1 , z 1

) τ(v) = τ(x, y, z) = τ(x^1, y^1, z^1) ，當且僅當它滿足下列屬性的時候：

我們稱它為一個線性變換。其中u和v是3D向量，k是標量。

例如定義 $τ(v) = τ(x, y, z) = τ(x^2, y^2, z^2)$；τ(1, 2, 3) = (1, 4, 9)；這個方程不是線性的，因為如果k = 2和u = (1, 2, 3)：τ(ku) = τ(2, 4, 6) = (4, 16, 36)，但是kτ(u) = 2(1, 4, 9) = (2, 8, 18)
所以不符合性質2，如果它是線性的，它應該符合：

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1.2 矩陣表示

令u = (x, y, z)我們可以把它寫成如下形式：
$u = (x, y, z) = xi + yj + zk = x(1, 0, 0) + y(0, 1, 0) + z(0, 0, 1)$
其中向量i = (1, 0, 0), j = (0, 1, 0), k = (0, 0, 1)，是座標系軸方向的單位向量，它們分別被稱為 $R^3$的標準基本向量，現在令τ為一個線性變換，它具備下面性質：

那麼它可以被寫成向量和矩陣相乘的形式：

其中，我們稱矩陣A是線性變換τ的矩陣表現。

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1.3 縮放

我們使用下面的公式來定義縮放：
$S(x, y, z) = (s_xx, s_yy, s_zz)$
它是物體在x軸方向縮放 $s_x$倍，在y軸和z軸同理；我們現在要證明S 是一個線性轉換：

為了得到矩陣表現，我們把S應用到每個標準基本向量中，然後把結果放到矩陣的每一行中：

所以S的矩陣表現為：

我們稱這個矩陣為縮放矩陣，其逆矩陣為：

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1.4 旋轉

這一節我們描述將一個向量V關於軸n旋轉θ角度；其中角度是當我們看向n軸時的順時針方向，並且||n|| = 1：

首先將v分解為2部分：平行於n（ $proj_n(v)$）和垂直於n（ $perp_n(v)$）；因為n是一個單位向量，所以 $proj_n(v) = (n \cdot v)n$；值得注意的是 $proj_n(v)$是平行於n的，它在旋轉的過程中不變，所以我們只需要關注垂直那部分如果旋轉，即旋轉向量的結果就等於： $R_n(v) = proj_n(v) + R_n(perp_n(v))$；

為了計算 $R_n(perp_n(v))$，我們在旋轉的平面上構建一個2D座標系，首先使用 $perp_n(v)$為第一個引用向量，為了得到第二個引用向量，我們使用叉積得到一個同時垂直於v和n的向量 $n \times v$，根據之前第一章練習14證明的公式（α是n和v之間的夾角）：
$||n \times v|| = ||n||||v||sina = ||v||sina = |||perp_n(v)|$
所以所有引用向量的長度都是一樣的，並且都是同一個園的半徑，現在我們可以建立起他們之間的聯絡，得到公式如下：

進一步，可以得到旋轉公式：

然後根據1.2中的公式，將上述線性變換轉成矩陣（其中c為cosθ，s為sinθ）：

旋轉矩陣有一個有趣的性質，它每一行的向量都是單位長度，並且互相垂直，所以它的行向量們是標準正交的；一個矩陣的行向量們標準正交的話，該矩陣稱為標準正交矩陣。標準正交矩陣有一個很吸引人的性質：它的逆矩陣等於它的轉置矩陣，所以：

通常來說，標準正交矩陣是非常值得使用的，因為它的逆矩陣可以很簡單和高效的計算出來。

在特殊情況下，如果我們要圍繞x，y，z軸旋轉，我們可以得到下列矩陣：

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2 仿射變換

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2.1 齊次座標系

在下一節中，我們將看到仿射變換其實是線性變換結合位移；位移不適用於向量，因為向量只表示方向和長度，其次座標系中提供了一個計數方法可以點和向量的變化一致：
1、使用(x, y, z, 0)表示向量（w = 0可以保證向量在變化中不進行位移）；
2、使用(x, y, z, 0)表示點。

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2.2 矩陣表示的定義

一個仿射變換是一個線性變化加一個位移變化：
$a(u) = τ(u) + b$
或者用矩陣表示：

如果我們使用w = 1來擴充套件到齊次座標系，那麼可以使用更簡潔的寫法：

這個4 x 4矩陣就是仿射變換的矩陣表示，如果是針對向量，不想做位移操作，只需要把第四行w設定為0即可。

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2.3 位移

位移矩陣：

位移矩陣的逆矩陣：

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2.4 仿射矩陣的縮放和旋轉

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2.5 仿射矩陣變換的幾何解釋

令τ是一個旋轉變換，b是一個平移變換，那麼這個變換就可以描述為一個仿射變換：

用其次座標系（對於頂點w=1，對向量w=0）的矩陣表示為：

我們可以看到τ只是旋轉了每一個標準分向量i，j和k；α(x, y, z) = xτ(i) + yτ(j) + zτ(k) + b，向量b只是平移了每一個頂點：

相同的思路也可以解釋縮放變換：

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3 變換的結合

假設S是一個縮放矩陣，R是一個旋轉矩陣，T是一個平移矩陣；如果我們要對一個具有8個頂點的立方體做如何變換，最顯而易見的方法是一步一步變換：

因為矩陣的乘法具有結合律，所以：

我們可以設C = SRT為一個同時封裝了3個變換的矩陣。

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4 座標系變換

在3D計算機圖形學中，我們需要使用到多個座標系和座標系之間的變換，對於頂點和向量的座標系變幻是不同的。

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4.1 向量

下圖中，有兩個座標系A和B，與一個向量P。

很明顯 p = xu + yv，其中u和v是座標系A中，x和y方向上的單位向量；那麼 $P_B$就可以解釋為 $P_B = xu_B + yv_B$；所以，如果我們知道 $u_B = (u_x, u_y)$

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