首先可以把問題轉化一下：m堆石子，一共石子數不超過(n-m)顆，每次可以將一堆中一些石子推向前一堆，無法操作則失敗，問有多少種方法使得先手必勝？

然後這個顯然是個階梯Nim，然後有這樣的結論：奇數層異或和為0。具體證明：參考這篇博客，當然不是我寫的。如果不知道結論，裏面有例題POJ1704可以做一下。

然後直接DP顯然會T飛，考慮一個按位DP的技巧，f[i][j]表示確定前i位異或起來為0，剩下j個棋子的方案數。組合數相乘轉移，註意一些細節即可。

#include<bits/stdc++.h>
using namespace std;
const int N=151000,mod=1e9+9
 
;
int n,m,ans,f[19][N],fac[N],inv[N];
int C(int a,int b){return 1ll*fac[a]*inv[b]%mod*inv[a-b]%mod;}
int main()
{
    cin>>n>>m;
    fac[0]=inv[0]=inv[1]=1;for(int i=2;i<=n+m;i++)inv[i]=1ll*(mod-mod/i)*inv[mod%i]%mod;
    for(int i=1;i<=n+m;i++)fac[i]=1ll*fac[i-1]*i%mod,inv[i]=1ll*inv[i-1
 
]*inv[i]%mod;
    ans=C(n,m),n-=m;
    f[18][n]=1;
    for(int i=17;~i;i--)
    for(int j=0;j<=n;j++)
    for(int k=0;j+(2*k<<i)<=n&&k<=(m+1)/4;k++)
    f[i][j]=(f[i][j]+1ll*f[i+1][j+(2*k<<i)]*C((m+1)/2,2*k))%mod;
    for(int i=0;i<=n;i++)ans=(ans-1ll*f[0][i]*C(i+m/2,m/2
 
)%mod+mod)%mod;
    cout<<ans;
}

[SDOI2019]移動金幣（博弈論+階梯Nim+按位DP）