上次我們講了貪心，上題：

題目描述：
RFdragon摘了n種果子，每種果子堆成一堆，現在RFdragon打算將所有果子運回家，因此決定將所有果子合並成一堆。每次RFdragon可以選擇任意兩堆果子進行合並，消耗等同於兩堆果子質量之和的力氣。請你求出一個合並方案，使得RFdragon消耗的力氣最少。

輸入描述：
第一行一個正整數n。
第二行n個正整數，表示每堆果子的質量。

輸出描述：
一個正整數，表示消耗力氣的最小值。

輸入樣例：
5
3 2 5 2 1

輸出樣例：
29

其他說明：
n<100000，所有數據均在int範圍內。

　　今天我們要講的是二分。設想這樣一個場景：讓你從1~100之間猜一個數，每次告訴你大了或者小了，要求嘗試次數最少，你會猜幾？想都不用想，肯定先猜50。這個時候，你已經在用二分的思想來解決問題了。二分主要分兩種：二分查找和二分答案。我們先來看二分查找。我們直接來看一道題：

題目描述：
輸入n個數，將n個數從小到大排序，問k排在第幾。

輸入描述：
第一行兩個正整數n和k，中間用一個空格隔開。
第二行有n個正整數，中間有一個空格隔開。

輸出描述：
一個正整數，表示k排在第幾位。

輸入樣例：
5 7
7 3 5 6 9

輸出樣例：
4

其他說明：
n<1000000，所有輸入數據均在int範圍內，保證沒有重復的數。

　　它要怎麽用二分來實現呢？首先，不用說，肯定要將輸入的所有書進行排序。那之後呢？我們還回到剛才猜數的例子。假設你猜了50，告訴你50小了，你就排除了1~50之間的所有數，範圍變為51~100；你再猜75，假如75也小了，那你又排除了51~75之間的所有數，範圍變為76~100。因此，我們需要兩個數來記錄數據的範圍。我一般喜歡用head和tail進行表示，如下：

int head=1,tail=n;

　　head表示最小值，tail表示最大值。為什麽tail要等於n呢？這是因為，n是數組中最大的數的下標，這個數再大，下標也不可能超過n。每次取一個中間值，表示我們“猜”的那個數。

mid=(head+tail)/2;
if(a[mid]>k)
    tail=mid-1;
else if(a[mid]<k)
    head=mid+1;
else
{
    printf("%d",mid);
    return 0;
}

　　這就是我們“猜”數並縮小範圍的過程。掌握了核心代碼，題就不難做了。完整代碼如下：

#include<cstdio>
int n,k,a[1000000],head=1,tail,mid;
int main()
{
    scanf("%d %d",&n,&k);
    tail=n;
    for(int i=1;i<=n;i++)
        scanf("%d",&a[i]);
    while(head<=tail)
    {
        mid=(head+tail)/2;
        if(a[mid]==k)
        {
            printf("%d",mid);
            return 0;
        }
        else if(a[mid]>k)
            tail=mid-1;
        else
            head=mid+1;
    }
    return 0;
} 

　　這就是二分查找。那麽二分答案又是什麽呢？有一些題中，答案很難被直接確定，需要先確定範圍，然後在範圍中逐漸嘗試。用一般的查找方法自然很慢，但用二分來查找答案就快的多了。為了讓大家更好理解二分答案，先上一道題：

題目描述：
RFdragon家裏有一些廢品，由於廢品實在太多了，因此需要分批運走。黑心的收廢品的叔叔為了盈利，不但不給錢，反而還向RFdragon索要工錢。RFdragon好心的同意了。
RFdragon會將所有的廢品分成n批運走，運走每批廢品都要花一定量的錢。由於叔叔很黑心，因此向RFdragon提出以下要求：RFdragon每天給叔叔k元錢，k是一個定值，叔叔會運走幾批廢品，但是這幾批廢品必須是連續的，並且每次必須將一整批全部運走；如果運走幾批廢品後錢有剩余，但不夠運走下一批廢品，那麽剩下的錢會被叔叔收入腰包。由於忍受不了廢品散發的味道，RFdragon要求運走所有廢品的天數不能超過m天，並且k越小越好。請你幫他求出k的最小值。

輸入描述：
第一行三個正整數，中間用空格隔開，分別表示n、m。
第二行有n個正整數，表示運走每批廢品的價格。

輸出描述：
一個正整數，表示k的最小值。

其他說明：
所有數據<10000。

　　首先，我們要確定二分範圍。最小值一定是所有廢品中花錢最多的那個，最大值一定是所有廢品所花錢數之和。問題來了，我們每次確定一個mid值之後，如何判斷這個mid值是否可以滿足題意呢？我們不妨寫一個check函數。

bool check(int x)//參數x表示假設k=x
{
    int cur=x,sum=1;//cur表示當前剩余錢數，sum表示運走所有廢品所需天數 
    for(int i=1;i<=n;i++)
    {
        if(cur>a[i])
            cur-=a[i];//假設剩余錢數能運走當前這批廢品，就讓叔叔運走他 
        else
        {
            cur=x-a[i]; 
            sum++;//否則就讓叔叔（使用）明天（的錢）運走他
        }
    } 
    return sum<=m;
} 

　　完整代碼如下：

#include<algorithm>
#include<cstdio>
using namespace std;
int n,m,a[10000];
bool check(int x)
{
    int cur=x,sum=1;
    for(int i=1;i<=n;i++)
    {
        if(cur>a[i])
            cur-=a[i];
        else
        {
            cur=x-a[i]; 
            sum++;
        }
    } 
    return sum<=m;
} 
int main()
{
    int head=0,tail=0,mid;
    scanf("%d %d",&n,&m);
    for(int i=1;i<=n;i++)
    {
        scanf("%d",&a[i]);
        tail+=a[i];
        head=max(head,a[i]);
    }
    while(head<tail)
    {
        mid=(head+tail)/2;
        if(check(mid))
            tail=mid;
        else
            head=mid+1;
    }
    printf("%d",head);
    return 0;
}

　　這就是二分的用法，你學會了嗎？

//答案代碼 
#include<algorithm>
#include<cstdio>
using namespace std;
int n,a[10000],ans;
int main()
{
    scanf("%d",&n);
    for(int i=1;i<=n;i++)
        scanf("%d",&a[i]);
    sort(a+1,a+1+n);
    for(int i=1;i<=n;i++)
    {
        a[i]+=a[i-1];
        ans+=a[i];
    }
    printf("%d",ans);
    return 0;
}

Created by RFdragon

基礎算法——二分