Java位運算實現加減乘除四則運算
本文是繼《一文了解有趣的位運算》的第二篇文章.
我們知道，計算機最基本的操作單元是位元組(byte)，一個位元組由8個位(bit)組成，一個位只能儲存一個0或1，其實也就是高低電平。無論多麼複雜的邏輯、龐大的資料、酷炫的介面，最終體現在計算機最底層都只是對0101的儲存和運算。因此，瞭解位運算有助於提升我們對計算機底層操作原理的理解。
一、加法
兩個二進位制數異或運算的結果是不考慮進位時的結果，
兩個二進位制數與運算的結果中含有1的位是有進位的位。
以0101 + 0001 = 0110為例分析如下：
//計算 0101 + 0001 0101 ^ 0001 = 0100 //異或結果表明，如果不考慮進位，那麼結果為0100 0101 & 0001 = 0001 //與運算結果表明，最低位需要向次低位進1 0001 << 1 = 0010 //與運算結果左移一位，將進位加到高位上 //遞迴計算 0100 + 0010，直到+號右側數字為0
java程式碼：
遞迴
public static int add(int a, int b) {
if (b == 0) {
return a;
} else {
return add(a ^ b, (a & b) << 1);
}
}
迴圈
public static int add2(int a, int b) { int sum = a; while (b != 0) { sum = a ^ b; b = (a & b) << 1; a = sum; } return sum; }
二、減法
與加法的思路一致，只不過減去一個數等於加一個數的相反數。
例如：5-1 = 5+(-1)。所以，我們只需要求出被減數的相反數即可。
如何求出一個數的相反數？
計算機中儲存的是二進位制的補碼形式，正數的補碼與原碼相同，負數的補碼為對該數的原碼除符號位外各位取反，然後在最後一位加1。
例如：
1在計算機中的二進位制表示為：0000 0001
-1在計算機中的二進位制表示為：1111 1111
計算過程為：
-1的原碼：1000 0001
-1的反碼：1111 1110
-1的補碼：1111 1111
其中，由1的原碼（0000 0001）取反可得-1的反碼（1111 1110）
總結，一個數的相反數的求法就是該數每一位取反，末位加一。
java程式碼：
public static int minus(int a, int b) {
return add(a, add(~b, 1));
}三、乘法
如果沒有思路，可以先在紙上筆算二進位制乘法的過程：
0101 a
× 0110 b
----------------
0000
0101
0101
+ 0000
----------------
00011110梳理下筆算二進位制乘法的過程：
初始化乘積結果為0，依次遍歷數字b的末位 0→1→1→0，當末位為0時，乘積結果加上0，也就是乘積不變，A左移一位；當末位為1時，乘積結果加上A，A再左移一位。
如何遍歷數字b的末位呢？
根據前面所學，我們可以使用與運算取一個數的末位，並不斷右移數字b，直到數字b==0，即可結束位移。
需要注意的是正負數的符號問題，此處是先對a、b兩數的絕對值計算其乘積，最後再確定其符號。
java程式碼為：
public static int multiply(int a, int b) {
//將乘數和被乘數都取絕對值
int A = a < 0 ? add(~a, 1) : a;
int B = b < 0 ? add(~b, 1) : b;
//計算絕對值的乘積
int P = 0;
while (B != 0) {
if ((B & 1) != 0) { //取乘數的二進位制的最後一位，0 or 1
P = add(P, A);
}
A = A << 1;
B = B >> 1;
}
//計算乘積的符號
if ((a ^ b) < 0) {
P = add(~P, 1);
}
return P;
}四、除法
最簡單的除法實現就是不停的用除數去減被除數，直到被除數小於除數時，此時所減的次數就是我們需要的商，而此時的被除數就是餘數。
唯一需要注意的就是商的符號和餘數的符號。商的符號確定方式也乘法是一樣，即同號為正，異號為負。而餘數的符號和被除數的符號是一樣的。
和簡單的乘法實現一樣，這裡我們要先對兩數的絕對值求商，求餘數。最後再確定符號。
public static int[] divide(int a, int b) {
//對被除數和除數取絕對值
int A = a < 0 ? add(~a, 1) : a;
int B = b < 0 ? add(~b, 1) : b;
//對被除數和除數的絕對值求商
int C = A; // 餘數C
int N = 0; // 商N
while (C >= B) {
C = minus(C, B); // C-B
N = add(N, 1); // N+1
}
// 求商的符號
if ((a ^ b) < 0) {
N = add(~N, 1);
}
// 求餘數的符合
if (a < 0) {
C = add(~C, 1);
}
return new int[]{N, C};
}需要指出的是，這種演算法在A很大、B很小的情況下效率很低，那該如何優化演算法減少while迴圈的次數呢？
不難想到，除法是由乘法的過程逆推而來的。例如 9÷4=2...1，也就是2*4+1=9。假設用9去減4*2，可以得出結果等於1，因為1小於4，那麼就可以得出9÷4的商是2，餘數是1。
如何確定4的倍數是逼近最終結果的關鍵。我們知道，int 整型有32位，除首位表示符號位，每一位的大小是 [2^0, 2^1, 2^2, , , 2^30]，最大的int整數是2^31-1。所以，我們可以依次將被除數與2^31, 2^30, ...2^3, 2^2, 2^1, 1相乘，如果除數大於它們的乘積，除數就與之相減，並用相減得到的餘數繼續作為除數，直到迴圈結束。
java程式碼：
public static int[] divide(int a, int b) {
// 對被除數和除數取絕對值
int A = a < 0 ? add(~a, 1) : a;
int B = b < 0 ? add(~b, 1) : b;
int N = 0; // 商 N
for (int i = 31; i >= 0; i--) {
// 未使用A>=(B<<i)進行判斷，因為只有左移B時捨棄的高位不包含1，才相當於該數乘以2的i次方.
if ((A >> i) >= B) { // A ÷ 2^i >= B
N += (1 << i); // N = N + 2^i
A -= (B << i); // A = A - B*2^i
}
}
int C = A; // 餘數C
// 求商的符號
if ((a ^ b) < 0) {
N = add(~N, 1);
}
// 求餘數的符號
if (a < 0) {
C = add(~C, 1);
}
return new int[]{N, C};
}