問題描述

問題：計算A+B，不適用“+”運算子（LintCode 1.A + B Problem）
注意：A B均為32位整數，可使用位元位計算

解決思路

演算法示例

程式碼如下：（通過LintCode測試）

class Solution {
public:
    /*
     * @param : An integer
     * @param : An integer
     * @return: The sum of a and b
     */
    int aplusb(int a, int b) {
        // write your code here
 

        int s, c;  
        while(b != 0)  
        {  
            s = a^b;  
            c = (a&b)<<1;  
            a = s;  
            b = c;  
        }  
        return a;  
    }
};

知識整理

位運算

位運算是按照二進位制進行的運算，c語言提供6個位運算操作符，這些操作符適用於整型運算元。具體6個操作符如下：

1.按位與 &

參與運算的兩個數按照二進位制位依次進行與運算，即兩位都是1結果為1，否則為0。例如：3&6，換算為8位二進位制數（高位補0），為
00000011&
00000110=
00000010

按位與可用於：清零、保留指定位。
清零：想將原數清零，只需要原數中所有為1的位，在新數位相應為0，兩數&操作即可為00000000。
保留指定位：想保留原數的第n位，只要新數的第n位保證為1，兩數&操作即可保留原數的第n位，想保留多位同理。

2.按位或 |

參與運算的兩個數對應的二進位制位只要有一個為1，結果為1。例如
00011001 |
01001010=
01011011

按位或可用於：將原數的某些位定值為1，只需要與它進行按位或操作的新數對應的位數為1即可。

3.按位異或 ^

參與運算的兩個數對應二進位制位相同為0，不同為1。例如：
00110011 ^
01000110 =
01110101

按位異或可用於：指定位翻轉（與1異或）、保留原值（與0異或）、交換兩數。
交換兩數：交換a和b：
ａ＝a∧b;
ｂ＝b∧a;
ａ＝a∧b; 交換成功

4.取反 ~

二進位制位1變0，0變1。

5.左移 <<

根據指定位數將原數各個二進位制位左移指定位，高位左移溢位則捨棄，低位空位則用0補齊。

當該數左移時溢位捨棄的高位中不包含1時，左移類似乘法，左移n位相當於該數乘以2^n。

6.右移 >>

根據指定位數將原數各個二進位制位右移指定位，移到右端的低位被捨棄。左端高位，如果無符號數，補0。對於有符號數，移入0稱為邏輯右移，移入1的稱為算術右移。

位運算實現加減乘除

1.位運算實現加法

無論哪種進位制的加法，其核心都是“和”、“進位”。位運算有一個特點，首先是：
位運算的異或運算與“和”一致：
異或 1^1=0；1^0=1；0^0=0
求和 1+1=0；1+0=1；0+0=0
位運算的與運算與“進位”一致：
位與 1&1=1；1&0=0；0&0=0
進位 1+1=1；1+0=0；0+0=0

綜合上述兩個特點實現加法，程式碼如下：（分析詳見註釋）

int add(int a, int b) //遞迴形式
{
    if(b==0) //遞迴結束條件：如果右加數為0，即不再有進位，結束運算
        return a;
    int s = a^b;
    int c = (a&b)<<1; //進位左移1位
    return add(s, c); //把'和'和'進位'相加
}

int add(int a, int b) //迴圈形式
{
    int s, c;
    while(b != 0)
    {
        s = a^b;
        c = (a&b)<<1;
        a = s;
        b = c;
    }
    return a;
}

2.位運算實現減法

減法實質使用加法實現的。先把減數求負，然後做加法。對一個數求負的方法是：將該數連符號位一起取反，然後加一。
程式碼如下：（先求負，在相加）

int negtive(int i) //求負
{
    return add(~i, 1);
}

int subtraction(int a, int b) //減法運算：利用求負操作和加法操作
{
    return add(a, negtive(b));
}

3.位運算實現乘法

乘法需要考慮符號位，需要進行符號位的提取，以及負數的取正。乘法的實現也可藉助加法，a*b可以看成b個a相加，通過迴圈實現，程式碼如下：（此法慢，其他方法不做贅述）

int getsign(int i){ //取一個數的符號，看是正還是負
    return (i>>31);
}

int bepositive(int i){ //將一個數變為正數，如果本來就是正，則不變；如果是負，則變為相反數。注意對於-2147483648，求負會溢位。
    if(i>>31)
        return negtive(i);
    else
        return i;
}

int multiply(int a, int b){ //迴圈法實現加法
    bool flag = true;
    if(getsign(a) == getsign(b)) //積的符號判定
        flag = false;

    a = bepositive(a);//先把乘數和被乘數變為正數
    b = bepositive(b);
    int ans = 0;
    while(b){
        ans = add(ans, a);
        b = subtraction(b, 1);
    }

    if(flag)
        ans = negtive(ans);
    return ans;
}

4.位運算實現除法

除法可藉助減法實現，從被除數上減去除數，看能減多少次之後變得不夠減。程式碼如下：（此法慢，其他方法不做贅述）

int division(int a, int b){
    if(b==0)
        return 0;

    bool flag = true;
    if(getsign(a) == getsign(b)) //積的符號判定
        flag = false;

    a = bepositive(a);
    b = bepositive(b);

    int n = 0;
    a = subtraction(a, b);
    while(a>=0){
        n = add(n, 1);
        a = subtraction(a, b);
    }

    if(flag)
        n = negtive(n);
    return n;
}

位運算常用技巧

1.計算二進位制數中1的個數

通過與初始值為1的標誌位進行與運算，判斷最低位是否為1；然後將標誌位左移，判斷次低位是否為1；一直這樣計算，直到將每一位都判斷完畢。

int countOf1(int num){
    int count = 0;
    unsigned int flag = 1;
    while(flag){
        if(num & flag)
            count++;
        flag = flag << 1;
    }
    return count;
}

2.判斷某數是否為2的n次方

一個數是2的n次方，則這個數的最高位是1，其餘位為0。

bool is2Power(int num){
    bool flag = true;
    num = num & (num - 1); //計算num和num - 1的與的結果
    if(num) //如果結果為0，則不是2的n次方   
        flag = false;   
    return flag;
}

3.判斷某數的奇偶性

判斷奇偶性，實質是判斷最後一位是否是1。

// 判斷一個數的奇偶性.返回1，為奇數;返回0，為偶數
bool isOdd(int num){
    return num & 1 == 1;
}

4.交換兩數

交換a和b：
ａ＝a∧b;
ｂ＝b∧a;
ａ＝a∧b;

5.求絕對值

將原數n右移31位，可以獲得n的符號。

// 若n為正數，得到0；若n為負數，得到-1 
int myAbs(int n){
    return (n ^ n >> 31) - (n >> 31);
}

6.求平均值

int getAverage(int m,int n){
    return (m + n) >> 1;
}