淺談線段樹 Segment Tree
阿新 • • 發佈：2019-10-27
眾所周知，線段樹是algo中很重要的一項！
一.簡介
線段樹是一種二叉搜尋樹，與區間樹相似，它將一個區間劃分成一些單元區間，每個單元區間對應線段樹中的一個葉結點。
使用線段樹可以快速的查詢某一個節點在若干條線段中出現的次數，時間複雜度為O(logN)。而未優化的空間複雜度為2N，實際應用時一般還要開4N的陣列以免越界，因此有時需要離散化讓空間壓縮。
二.用途
單點 ： 查詢（query）修改（add,mul）
區間 ： 查詢（區間和），修改，最大值（max)，最小值（min)。
三. 實現方式
1.建樹
由於每個點都表示一個區間，所以他有很多資訊（左兒子，右兒子，區間sum） 所以我們用結構體存. 因為之後要用到懶標記，所以結構體還有兩個懶標記。
懶標記 ： 以上圖為例，如果想在1 - 6區間內加一，我們就將這個資訊從根節點傳遞到下一層，這時2,3點都有一個add = 1的懶標記，這樣就表示已經加過1了，下次如果還要加，那麼直接加在懶標記上。就比如你掙了一筆錢，暫時不用，就存在銀行裡了。之後如果求解需要遞迴，那麼這個懶標記就向下傳，並且傳完後自己要清零！（這樣更新後的狀態就是 原狀態 + 子區間點的個數 * 傳下里的懶標記，（example sum = 5(原狀態）+ 4（區間裡有4個數，都加了個2） * 2（懶標記））-------很玄學
乘法的懶標記（luogu p3373）：需要特別注意下
比如 懶標記原本為2 + 3
現在傳下一個乘8 那麼就變為（2 + 3) * 8
然後再傳一個加三，就會變成（2 + 3 + 3） * 8
所以我們這麼存 2 * 8 + 3 * 8
這樣加3後值才是正確的！
上程式碼
程式碼中% P 為題目要求
1 struct Node {
2 int l, r;
3 ll sum;
4 ll add, mul;
5
6 Node() {
7 l = r = sum = add = 0;
8 mul = 1;
9 }
10
11 void update_add(ll value) {
12 add = (add + value) % P;
13 sum = (sum + (r - l + 1) * value) % P;
14 }
15
16 void update_mul(ll value) {
17 sum = (sum * value) % P;
18 mul = (mul * value) % P;
19 add = (add * value) % P;
20 }
21 } t[N << 2];
我的建樹可能比較怪，當遞迴到根節點再cin，一邊遞迴一邊更新（push_up,後面有）
1 void build_tree(int p, int l, int r) {
2 t[p].l = l, t[p].r = r;
3 if (l == r) {
4 cin >> t[p].sum;
5 return;
6 }
7 int mid = (t[p].l + t[p].r) >> 1;
8 build_tree(lc(p), l, mid);
9 build_tree(rc(p), mid + 1, r);
10 push_up(p);
11 }
左兒子右兒子
inline int lc(int p) {
return p << 1;
}
inline int rc(int p) {
return p << 1 | 1;
}
向上push_up更新資訊（sum),向下傳懶標記（push_down) 切記傳完後自己狀態要恢復哦！
1 void push_up(int p) {
2 t[p].sum = t[lc(p)].sum + t[rc(p)].sum;
3 }
4
5 void push_down(int p) {
6 if (t[p].mul != 1) {
7 t[lc(p)].update_mul(t[p].mul);
8 t[rc(p)].update_mul(t[p].mul);
9 t[p].mul = 1;
10 }
11 if (t[p].add) {
12 t[lc(p)].update_add(t[p].add);
13 t[rc(p)].update_add(t[p].add);
14 t[p].add = 0;
15 }
16 }
Å%%%Then
當我們進行區間改動時
（黑色為總區間，紅色為需要修改的區間）
如果當前區間是全部區間的子集————那很好，咱們可以直接修改
如果當前區間和總區間有交集，那麼就遞迴，找到第一個完全包含他的區間，然後修改，再遞迴上去
上程式碼！！！
1 void update1(int p, int l, int r, ll value) {//乘法更新
2 if (t[p].l >= l && t[p].r <= r) {
3 t[p].update_mul(value);
4 return;
5 }
6 push_down(p);
7 int mid = (t[p].l + t[p].r) >> 1;
8 if (l <= mid) update1(lc(p), l, r, value);
9 if (r > mid) update1(rc(p), l, r, value);
10 push_up(p);
11 }
12
13 void update2(int p, int l, int r, ll value) {//加法更新
14 if (t[p].l >= l && t[p].r <= r) {
15 t[p].update_add(value);
16 return;
17 }
18 push_down(p);
19 int mid = (t[p].l + t[p].r) >> 1;
20 if (l <= mid) update2(lc(p), l, r, value);
21 if (r > mid) update2(rc(p), l, r, value);
22 push_up(p);
23 }
24
25 ll query(int p, int l, int r) {//區間查詢，如果是單點差距的話l == r
26 if (t[p].l >= l && t[p].r <= r) {
27 return t[p].sum % P;
28 }
29 push_down(p);
30 ll sum = 0;
31 int mid = (t[p].l + t[p].r) >> 1;
32 if (l <= mid) sum = (sum + query(lc(p), l, r)) % P;
33 if (r > mid) sum = (sum + query(rc(p), l, r)) % P;
34 return sum % P;
35 }
當然還可以求RMQ問題
1 struct Node
2 {
3 ll minn,maxx;
4 }t[];
5
6 //build 里加幾句
7 t[p].maxx = max(t[lc(p)].maxx,t[rp(p)].maxx);
8 t[p].minn = min(t[lc(p)].minn,t[rp(p)].minn);
9
10
11 int ans1,ans2;
12 void new_query(int p,int l,int r)
13 {
14 if(t[p].l == l && t[p].r == r)
15 {
16 ans1 = max(ans1,t[p].maxx);
17 ans2 = max(ans2,t[p].minn);
18 return;
19 }
20 int mid = (t[p].l + t[p].r) >> 1;
21 if(r <= mid)
22 query(lc(p),l,r);
23 else if (l > mid)
24 query(rc(p),l,r);
25 else
26 {
27 query(lc(p),l,mid);
28 query(rp(p),mid + 1,r);
29 }
30 }
下面附上總程式碼（程式碼按照luogu 線段樹2的模板打的，可AC）
1 #include <iostream>
2 #include<algorithm>
3 using namespace std;
4 const int N = 1e5 + 7;
5 typedef long long ll;
6
7 ll P;
8
9 struct Node {
10 int l, r;
11 ll sum;
12 ll add, mul;
13 // ll minn,mmax;
14 Node() {
15 l = r = sum = add = 0;
16 mul = 1;
17 }
18
19 void update_add(ll value) {
20 add = (add + value) % P;
21 sum = (sum + (r - l + 1) * value) % P;
22 }
23
24 void update_mul(ll value) {
25 sum = (sum * value) % P;
26 mul = (mul * value) % P;
27 add = (add * value) % P;
28 }
29 } t[N << 2];
30
31 inline int lc(int p) {
32 return p << 1;
33 }
34
35 inline int rc(int p) {
36 return p << 1 | 1;
37 }
38
39 void push_up(int p) {
40 t[p].sum = t[lc(p)].sum + t[rc(p)].sum;
41 }
42
43 void push_down(int p) {
44 if (t[p].mul != 1) {
45 t[lc(p)].update_mul(t[p].mul);
46 t[rc(p)].update_mul(t[p].mul);
47 t[p].mul = 1;
48 }
49 if (t[p].add) {
50 t[lc(p)].update_add(t[p].add);
51 t[rc(p)].update_add(t[p].add);
52 t[p].add = 0;
53 }
54 }
55
56 void build_tree(int p, int l, int r) {
57 t[p].l = l, t[p].r = r;
58 if (l == r) {
59 cin >> t[p].sum;
60 return;
61 }
62 int mid = (t[p].l + t[p].r) >> 1;
63 build_tree(lc(p), l, mid);
64 build_tree(rc(p), mid + 1, r);
65 // t[p].maxx = max(t[lc(p)].maxx,t[rp(p)].maxx);
66 // t[p].minn = min(t[lc(p)].minn,t[rp(p)].minn);
67 push_up(p);
68 }
69
70 void update1(int p, int l, int r, ll value) {
71 if (t[p].l >= l && t[p].r <= r) {
72 t[p].update_mul(value);
73 return;
74 }
75 push_down(p);
76 int mid = (t[p].l + t[p].r) >> 1;
77 if (l <= mid) update1(lc(p), l, r, value);
78 if (r > mid) update1(rc(p), l, r, value);
79 push_up(p);
80 }
81
82 void update2(int p, int l, int r, ll value) {
83 if (t[p].l >= l && t[p].r <= r) {
84 t[p].update_add(value);
85 return;
86 }
87 push_down(p);
88 int mid = (t[p].l + t[p].r) >> 1;
89 if (l <= mid) update2(lc(p), l, r, value);
90 if (r > mid) update2(rc(p), l, r, value);
91 push_up(p);
92 }
93
94 ll query(int p, int l, int r) {
95 if (t[p].l >= l && t[p].r <= r) {
96 return t[p].sum % P;
97 }
98 push_down(p);
99 ll sum = 0;
100 int mid = (t[p].l + t[p].r) >> 1;
101 if (l <= mid) sum = (sum + query(lc(p), l, r)) % P;
102 if (r > mid) sum = (sum + query(rc(p), l, r)) % P;
103 return sum % P;
104 }
105 /*int ans1,ans2;
106 void new_query(int p,int l,int r)
107 {
108 if(t[p].l == l && t[p].r == r)
109 {
110 ans1 = max(ans1,t[p].maxx);
111 ans2 = max(ans2,t[p].minn);
112 return;
113 }
114 int mid = (t[p].l + t[p].r) >> 1;
115 if(r <= mid)
116 new_query(lc(p),l,r);
117 else if (l > mid)
118 new_query(rc(p),l,r);
119 else
120 {
121 new_query(lc(p),l,mid);
122 new_query(rp(p),mid + 1,r);
123 }
124 }
125 */
126
127 int main()
128 {
129 int n, m;
130 cin >> n >> m >> P;
131 build_tree(1, 1, n);
132 while (m--) {
133 int op, l, r, num;
134 cin >> op >> l >> r;
135 if (op == 1 || op == 2) cin >> num;
136 if (op == 1) update1(1, l, r, num);
137 else if (op == 2) update2(1, l, r, num);
138 else cout << query(1, l, r) << endl;
139 }
140 }
141
142 //Juddav007 0.0
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