樹的基本概念

根：樹的頂端結點
兄弟：具有同一個雙親(Parent)的孩子(Child)之間互稱為兄弟(Sibling)。
祖先：結點的祖先(Ancestor)是從根（Root）到該結點所經分支(Branch)上的所有結點。
葉子（終端結點）：沒有孩子的結點(也就是度為0的結點)稱為葉子(Leaf)或終端結點。
度：結點所擁有的子樹個數稱為結點的度(Degree)。
邊：一個結點和另一個結點之間的連線被稱之為邊(Edge)。
層次：結點的層次(Level)從根(Root)開始定義起，根為第0層，根的孩子為第1層。
路徑：連線結點和其後代的結點之間的(結點,邊)的序列。
結點的高度：結點的高度是該結點和某個葉子之間存在的最長路徑上的邊的個數。
樹的高度

二叉樹（Binary Search Tree）

定義：每個結點至多擁有兩棵子樹(即二叉樹中不存在度大於2的結點)，並且，二叉樹的子樹有左右之分，其次序不能任意顛倒。
二叉樹的性質：

1. 若二叉樹的層次從0開始，則在二叉樹的第i層至多有2^i個結點(i>=0)。
2. 高度為k的二叉樹最多有2^(k+1) - 1個結點(k>=-1)。 (空樹的高度為-1)高度為k的二叉樹最多有2^(k+1) - 1個結點(k>=-1)。 (空樹的高度為-1)
3. 對任何一棵二叉樹，如果其葉子結點(度為0)數為m, 度為2的結點數為n, 則m = n + 1。對任何一棵二叉樹，如果其葉子結點(度為0)數為m, 度為2的結點數為n, 則m = n + 1。

B樹

B樹的結構要求：
1）根節點至少有兩個子節點
2）每個節點有M-1個key，並且以升序排列
3）位於M-1和M key的子節點的值位於M-1 和M key對應的Value之間
4）其它節點至少有M/2個子節點
5）所有葉子節點都在同一層

查詢
　　以上圖為例：若查詢的數值為５：
　　第一次磁碟ＩＯ：在記憶體中定位（與17、35比較），比17小，左子樹；
　　第二次磁碟ＩＯ：在記憶體中定位（與８、12比較），比８小，左子樹；
　　第三次磁碟ＩＯ：在記憶體中定位（與3、5比較），找到5，終止。
整個過程中：比較的次數並不比二叉查詢樹少，尤其適當某一節點中的資料很多時，但是磁碟IO的次數卻是大大減少。比較是在記憶體中進行的，相比於磁碟IO的速度，比較的耗時幾乎可以忽略。所以當樹的高度足夠低的話，就可以極大的提高效率。相比之下，節點中的元素多點也沒關係，僅僅是多了幾次記憶體互動而已，只要不超過磁碟頁的大小即可。

B+樹

B+樹是B樹的升級版本，有著比Ｂ樹更高的查詢效率，也是一種多路搜尋樹：

1. 其定義基本與B-樹同，除了：
2. 非葉子結點的子樹指標與關鍵字個數相同；
3. 非葉子結點的子樹指標P[i]，指向關鍵字值屬於[K[i], K[i+1])的子樹（B-樹是開區間）；
4. 為所有葉子結點增加一個鏈指標；
5. 所有關鍵字都在葉子結點出現；
   

查詢
首先，Ｂ＋樹的查詢和Ｂ樹一樣，類似於二叉查詢樹。起始於根節點，自頂向下遍歷樹，選擇其分離值在要查詢值的任意一邊的子指標。在節點內部典型的使用是二分查詢來確定這個位置。
不同的是：

1. Ｂ＋樹中間節點沒有衛星資料（索引元素所指向的資料記錄），只有索引，而Ｂ樹每個結點中的每個關鍵字都有衛星資料；這就意味著同樣的大小的磁碟頁可以容納更多節點元素，在相同的資料量下，Ｂ＋樹更加“矮胖”，ＩＯ操作更少。
   B樹的衛星資料：
   
   B+樹的衛星資料：
   
   需要補充的是，在資料庫的聚集索引（Clustered Index）中，葉子節點直接包含衛星資料。在非聚集索引（NonClustered Index）中，葉子節點帶有指向衛星資料的指標。
2. 因為衛星資料的不同，導致查詢過程也不同；Ｂ樹的查詢只需找到匹配元素即可，最好情況下查詢到根節點，最壞情況下查詢到葉子結點，所說效能很不穩定，而Ｂ＋樹每次必須查詢到葉子結點，效能穩定
3. 在範圍查詢方面，B+樹的優勢更加明顯：B樹的範圍查詢需要不斷依賴中序遍歷。首先二分查詢到範圍下限，在不斷通過中序遍歷，知道查詢到範圍的上限即可。整個過程比較耗時。
   　　而B+樹的範圍查詢則簡單了許多。首先通過二分查詢，找到範圍下限，然後同過葉子結點的連結串列順序遍歷，直至找到上限即可，整個過程簡單許多，效率也比較高。
   　　例如：同樣查詢範圍[3-11]，兩者的查詢過程如下：
   　　B樹的查詢過程：
   　　
   　　B+樹的查詢過程：
   　　

B*樹

接下來要說明的就是B樹，B樹是對B+樹進行的又一次的升級。在B+樹的非根和非葉子結點再增加指向兄弟的指標；

在B+樹基礎上，為非葉子結點也增加連結串列指標，將結點的最低利用率從1/2提高到2/3；
在這比如說當你進行插入節點的時候，它首先是放到兄弟節點裡面。如果兄弟節點滿了的話，進行分裂的時候從兄弟節點和這個節點各取出1/3，放入新建的節點當中，這樣也就實現了空間利用率從1/2到1/3。

MySQL的索引

什麼是索引？
首先索引引入的目的是為了快速查詢以及更新表中的資料。索引是一種儲存在硬碟上的，對資料庫表中一列或多個列進行排序的資料結構。
索引是一個單獨儲存在磁碟上的資料庫結構，它們包含著對資料表裡所有記錄的引用指標，使用索引可以提高資料庫特定資料的查詢速度.索引時在儲存引擎中實現的，因此每種儲存引擎的索引不一定完全相同,並且每種儲存引擎也不一定支援所有索引型別.
為什麼不用二叉搜尋樹
一句話：因為磁碟IO問題。之前說過，索引是儲存在磁碟上的，對資料庫表中一列或多列進行排序的資料結構。資料庫中的資料可能很大，在大量的資料儲存在磁碟上時。計算機無法一次性將資料全部載入進記憶體。而是通過逐一載入每一磁碟頁。而載入磁碟頁對應著索引樹的節點。那麼一次查詢所經歷的索引樹的深度對應著磁碟IO互動的次數。如果採取二叉樹結構，那麼顯而易見，可能導致遍歷的深度太大導致磁碟IO互動的次數太多。而相較於記憶體查詢，磁碟IO才是影響查詢以及更新表中資料的關鍵。那麼由二叉樹這樣的瘦長結構自然容易聯想到如何將它變的矮胖。這樣做雖然沒有降低比較次數，由於深度的降低，可以極大的減少磁碟IO次數。從而可以提升查詢以及更新資料的效能。
B樹相較於二叉搜尋樹的中序遍歷，沒有減少多少，甚至一點都沒有減少，不過降低了磁碟IO的次數。對於提高索引查詢以及更新資料來說。這就足夠了，畢竟磁碟IO才是影響效能的關鍵。
b+樹相比於b樹的查詢優勢：

1. b+樹的中間節點不儲存資料，所以磁碟頁能容納更多節點元素，更“矮胖”；
2. b+樹查詢必須查詢到葉子節點，b樹只要匹配到即可不用管元素位置，因此b+樹查詢更穩定（並不慢）；
3. 所有葉子節點形成有序連結串列，便於範圍查詢，b+樹只需遍歷葉子節點連結串列即可，b樹卻需要重複地中序遍歷。
   為什麼說B±tree比B 樹更適合實際應用中作業系統的檔案索引和資料庫索引？
   B+tree的磁碟讀寫代價更低：B+tree的內部結點並沒有指向關鍵字具體資訊的指標(紅色部分)，因此其內部結點相對B 樹更小。如果把所有同一內部結點的關鍵字存放在同一盤塊中，那麼盤塊所能容納的關鍵字數量也越多。一次性讀入記憶體中的需要查詢的關鍵字也就越多，相對來說IO讀寫次數也就降低了；
   B+tree的查詢效率更加穩定：由於內部結點並不是最終指向檔案內容的結點，而只是葉子結點中關鍵字的索引，所以，任何關鍵字的查詢必須走一條從根結點到葉子結點的路。所有關鍵字查詢的路徑長度相同，導致每一個數據的查詢效率相當；
   資料庫索引採用B+樹而不是B樹的主要原因：B+樹只要遍歷葉子節點就可以實現整棵樹的遍歷，而且在資料庫中基於範圍的查詢是非常頻繁的，而B樹只能中序遍歷所有節點，效率太低。
   檔案索引和資料庫索引為什麼使用B+樹?
   　　檔案與資料庫都是需要較大的儲存，也就是說，它們都不可能全部儲存在記憶體中，故需要儲存到磁碟上。而所謂索引，則為了資料的快速定位與查詢，那麼索引的結構組織要儘量減少查詢過程中磁碟I/O的存取次數，因此B+樹相比B樹更為合適。資料庫系統巧妙利用了局部性原理與磁碟預讀原理，將一個節點的大小設為等於一個頁，這樣每個節點只需要一次I/O就可以完全載入，而紅黑樹這種結構，高度明顯要深的多，並且由於邏輯上很近的節點(父子)物理上可能很遠，無法利用區域性性。最重要的是，B+樹還有一個最大的好處：方便掃庫。B樹必須用中序遍歷的方法按序掃庫，而B+樹直接從葉子結點挨個掃一遍就完了，B+樹支援range-query非常方便，而B樹不支援，這是資料庫選用B+樹的最主要原因