常見資料結構——樹

處理大量的資料時，連結串列的線性時間太慢了，不宜使用。在樹的資料結構中，其大部分的執行時間平均為O(logN)。並且通過對樹結構的修改，我們能夠保證它的最壞情形下上述的時間界。

樹的定義有很多種方式。定義樹的自然的方式是遞迴的方式。一棵樹是一些節點的集合，這個集合可以是空集，若非空集，則一棵樹是由根節點r以及0個或多個非空子樹T1,T2,T3,......,Tk組成，這些子樹中每一棵的根都有來自根r的一條有向的邊所連線。

從遞迴的定義中，我們發現一棵樹是N個節點和N-1條邊組成的，每一個節點都有一條邊連線父節點，但是根節點除外。

具有相同父親的節點為兄弟，類似的方法可以定義祖父和孫子的關係。

從節點n1到nk的路徑定義為節點n1，n2，...，nk的一個序列，並且ni是ni+1的父親。這個路徑的長是路徑上的邊數，即k-1。每個節點到自己有一條長為0的路徑。一棵樹從根到葉子節點恰好存在一條路徑。

對於任意的節點ni，ni的深度為從根到ni的唯一路徑長。ni的高是從ni到一片葉子的最長路徑的長。因此，所有的樹葉的高度都是0，一棵樹的高等於它的根節點的高。一棵樹的深度總是等於它最深葉子的深度；該深度等於這棵樹的高度。

 

樹的實現

實現樹的一種方法可以是在每一個節點除資料外還要有一些指標，使得該節點的每一個兒子都有一個指標指向它。但是由於每個節點的兒子樹可以變化很大而且事先不知道，故在各個節點建立子節點的連結是不可行的，這樣將會浪費大量的空間。

實際的做法很簡單：將每個節點的所有兒子都放在樹節點的連結串列中。下面是典型的宣告：

typedef struct TreeNode *PtrToNode
struct TreeNode{
　　ElementType Element;
　　PtrToNode FirstChild;
　　PtrToNode NextSibling
}

下面是兒子兄弟表示法的圖示：

樹的遍歷及應用

一個常見的使用是作業系統中的目錄結構。unix中的目錄就是含有它的所有兒子的一個檔案，下面是一個列印目錄的例子，輸出的格式是：深度為di的檔案的名字將被di次跳格tab後縮排：

static void
ListDir(DictoryOrFile D, int Depth){
　　if(D is a legitimate entry){
　　　　PrintName(D, Depth);
　　if(D is a directory)
　　　　for each childm C, of D
　　　　　　ListDir(C, Depth + 1);
　　}
}
 

void
ListDirectory(DirectoryOrFile D){
　　ListDie(D, 0);
}

上述的遍歷策略叫做先序遍歷。在先序遍歷中，對節點的處理工作是在他的諸子節點被處理之前進行的。另一種遍歷樹的方法是後序遍歷。在後序遍歷中，每一個節點處理的工作是在他的諸子兒子節點計算之後進行的。

 

記錄一個目錄大小的例程

static void SizeDirectory(Directory D){
　　int TotalSize=0;
　　if(D is a legitimate entry){
　　　　for each child, C of D:
　　　　　　TotalSize +=SizeDirectory(C);
　　}
　　return TotalSize;
}

 

二叉樹

二叉樹是一種樹，他的每個節點都不能有多於兩個的兒子。二叉樹的一個性質是平均二叉樹的深度要比N小的多，分析表明平均的深度為O(sqrt(N))，而對於特殊的二叉樹而言，其深度的平均值是O(logN)的。

對於二叉樹的實現，最多有兩個兒子，我們可以用指標直接指向它們。在宣告中，一個節點就是由Key(關鍵字)資訊加上兩個指向其他節點的指標組成的結構。

typedef struct TreeNode *PtrToNode;
typedef struct PtrToNode Tree;
struct TreeNode{
　　ElementType Element;
　　Tree Left;
　　Tree Right;
};

二叉樹上就是圖，在畫二叉樹的時候，我們一般不會畫出NULL指標，因為具有N個節點的每一棵二叉樹都將需要N+1個NULL指標。二叉樹有許多與搜尋無關的重要應用。二叉樹的重要用處之一是在編譯器的設計原則領域。

 

表示式樹

下面是一個表示式樹的例子：

表示式樹的樹葉是運算元，比如常數或者變數，而其他的節點為操作符。由於這裡所有操作都是二元的，因此這棵特定的樹正好是二叉樹。有的節點也有可能只有一個兒子，如具有一目的減運算子的情形。在上面的樹中，左子樹的值是a+(b*c)，右子樹的值是((d*e)+f)*g，整棵樹的表示(a+(b*c))+(((d*e)+f)*g)。

對於上面的二叉樹，我們可以通過遞迴產生一個帶括號的左表示式，然後打印出在根處的運算子，最後在遞迴的產生一個帶括號的右表示式進而得到一箇中綴表示式。這樣一般的方法稱為中綴表示式，由於其產生的表示式型別，這種遍歷很容易記住。

我們也可以通過後序遍歷的方式，得到表示式的字尾表示式。

 

構造一顆表示式樹

下面我們給出一種演算法，來把表示式的字尾表示轉化為表示式樹。對於將中綴表示式轉換為字尾表示式的演算法，我們可以通過棧進行實現。對於構建表示式樹的演算法：我們一次一個符號的讀入表示式，如果符號是運算元，那麼我們就建立一個單節點數並將一個指向它的指標推入棧，如果符號是操作符，那麼我們就從棧中彈出指向兩棵樹T1和T2的那兩個指標並形成一顆新的數，該樹的根就是操作符，它的左，右兒子分別指向T2和T1。然後將指向這棵樹的指標壓入棧中。

 

查詢樹ADT——二叉查詢樹

二叉樹的一個重要的應用就是查詢。假設樹中的每個節點被指定一個關鍵字值。在我們的例子中，雖然任意複雜的關鍵字都是可以的，但是為了簡單起見，假設它們都是整數。我們還將假設，所有字是互異的，後面再處理重複的情況。

使得二叉樹成為二叉查詢樹的性質是：對於樹中的每個節點X，它的左子樹中所有關鍵字值都小於X的關鍵字值，而它的右子樹中所有關鍵字值大於X的關鍵字值。

二叉查詢樹的平均深度是O(logN)。

 

二叉查詢樹的宣告和MakeEmpty

struct TreeNode
typedef struct TreeNode *Position;
typedef struct TreeNode *SearchTree;

struct TreeNode{
　　ElementType Element;
　　SearchTree Left;
　　SearchTree Right;
};

SearchTree
MakeEmpty(SearchTree T){
　　if(T != NULL){
　　　　MakeEmpty(T->Left);
　　　　MakeEmpty(T->Right);
 　　free(T);
　　}
　　return NULL:
}

 

Find

find操作一般是需要返回具有關鍵位元組點的指標，如果節點不存在則返回NULL。如果T為NULL，那麼我們就返回NULL。否則，如果儲存在T中的關鍵字是X，則返回T。否則，我們遞迴的呼叫遍歷左子樹或者右子樹，這取決於當前節點和X之間的關係。

下面的程式碼是通過遞迴進行實現的，我們發現函式中的兩次遞迴都是尾遞迴，很明顯可以通過goto進行實現。但是在這裡進行尾遞迴也是合理的，降低速度換的程式碼的簡明性，並且使用得棧空間也是O(logN)。

Position
Find(ElementType X, SearchTree T){
　　if(T == NULL)
　　　　return NULL;
　　if(X < T->Element){
　　　　Find(X, T->Left);
　　}else if(X > T->Element){
　　　　Find(X, T->Right);
　　}else{
　　　　return T;
　　}
}

 

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