一文看懂《最大子序列和問題》
阿新 • • 發佈：2020-06-18
## 引言
在做KB的基礎DP練習題的時候遇到了最大子序列和的[變種問題](https://vjudge.net/problem/HDU-1069#author=prayerhgq)，突然發現自己以前沒做過解題筆記（現補上）
最大子序列和是一道經典的演算法題， leetcode 也有原題《53.maximum-sum-subarray》，今天我們就來徹底攻克它。
## 題目描述
求取陣列中最大連續子序列和，例如給定陣列為 A = [1， 3， -2， 4， -5]， 則最大連續子序列和為 6，即 1 + 3 +（-2）+ 4 = 6。
去
首先我們來明確一下題意。
- 題目說的子陣列是連續的
- 題目只需要求和，不需要返回子陣列的具體位置。
- 陣列中的元素是整數，但是可能是正數，負數和 0。
- 子序列的最小長度為 1。
比如：
- 對於陣列 [1, -2, 3, 5, -3, 2], 應該返回 3 + 5 = 8
- 對於陣列 [0, -2, 3, 5, -1, 2], 應該返回 3 + 5 + -1 + 2 = 9
- 對於陣列 [-9, -2, -3, -5, -3], 應該返回 -2
### 解法一 - 暴力法（超時法）
一般情況下，先從暴力解分析，然後再進行一步步的優化。
### 思路
我們來試下最直接的方法，就是計算所有的子序列的和，然後取出最大值。
記 Sum[i,….,j]為陣列 A 中第 i 個元素到第 j 個元素的和，其中 0 <= i <= j < n，
遍歷所有可能的 Sum[i,….,j] 即可。
我們去列舉以 0,1,2…n-1 開頭的所有子序列即可，
對於每一個開頭的子序列，我們都去列舉從當前開始到 n-1 的所有情況。
這種做法的時間複雜度為 O(N^2), 空間複雜度為 O(1)。
### 程式碼
Java：
```cpp
class MaximumSubarrayPrefixSum {
public int maxSubArray(int[] nums) {
int len = nums.length;
int maxSum = Integer.MIN_VALUE;
int sum = 0;
for (int i = 0; i < len; i++) {
sum = 0;
for (int j = i; j < len; j++) {
sum += nums[j];
maxSum = Math.max(maxSum, sum);
}
}
return maxSum;
}
}
```
Python 3:
```cpp
import sys
class Solution:
def maxSubArray(self, nums: List[int]) -> int:
n = len(nums)
maxSum = -sys.maxsize
sum = 0
for i in range(n):
sum = 0
for j in range(i, n):
sum += nums[j]
maxSum = max(maxSum, sum)
return maxSum
```
空間複雜度非常理想，但是時間複雜度有點高。怎麼優化呢？我們來看下下一個解法。
## 解法二 - 分治法
### 思路
我們來分析一下這個問題， 我們先把陣列平均分成左右兩部分。
此時有三種情況：
- 最大子序列全部在陣列左部分
- 最大子序列全部在陣列右部分
- 最大子序列橫跨左右陣列
對於前兩種情況，我們相當於將原問題轉化為了規模更小的同樣問題。
對於第三種情況，由於已知迴圈的起點（即中點），我們只需要進行一次迴圈，分別找出
左邊和右邊的最大子序列即可。
所以一個思路就是我們每次都對陣列分成左右兩部分，然後分別計算上面三種情況的最大子序列和，
取出最大的即可。
舉例說明，如下圖：
這種做法的時間複雜度為 O(N*logN), 空間複雜度為 O(1)。
### 程式碼
Java:
```cpp
class MaximumSubarrayDivideConquer {
public int maxSubArrayDividConquer(int[] nums) {
if (nums == null || nums.length == 0) return 0;
return helper(nums, 0, nums.length - 1);
}
private int helper(int[] nums, int l, int r) {
if (l > r) return Integer.MIN_VALUE;
int mid = (l + r) >>> 1;
int left = helper(nums, l, mid - 1);
int right = helper(nums, mid + 1, r);
int leftMaxSum = 0;
int sum = 0;
// left surfix maxSum start from index mid - 1 to l
for (int i = mid - 1; i >= l; i--) {
sum += nums[i];
leftMaxSum = Math.max(leftMaxSum, sum);
}
int rightMaxSum = 0;
sum = 0;
// right prefix maxSum start from index mid + 1 to r
for (int i = mid + 1; i <= r; i++) {
sum += nums[i];
rightMaxSum = Math.max(sum, rightMaxSum);
}
// max(left, right, crossSum)
return Math.max(leftMaxSum + rightMaxSum + nums[mid], Math.max(left, right));
}
}
```
Python 3 :
```cpp
import sys
class Solution:
def maxSubArray(self, nums: List[int]) ->