作者：寒小陽

時間：2013年9月。

0、前言

        這一部分的內容原本是打算在之後的字串或者陣列專題裡面寫的，但看著目前火熱進行的各家網際網路公司筆試面試中，出現了其中的一兩個內容，就隨即將這些經典問題整理整理，單寫一篇發上來了。這裡爭取覆蓋面廣一些，列舉了7個最經典的問題，也會是之後大家筆試面試常見到的問題，而每個問題下都列舉了幾種思路，掌握這些經典問題的解題思路和演算法相信對同類型問題的解答都能有幫助。

       這裡總結的幾個問題分別是最大子序列和，最長遞增子序列，最長公共子串，最長公共子序列，字串編輯距離，最長不重複子串，最長迴文子串。其中前兩個問題是針對陣列求解的，後五個問題是針對字串求解的。多數問題都有動態規劃的解法（博主不堪地表示，自己動態規劃也較弱，只能想到一些基本的思路），這些解法需要細細琢磨，可發散式地使用在很多其他的題目上。

一、最大子序列和

這裡把最大子序列和放在第一個位置，它並不是字串相關的問題，事實上它的目的是要找出由陣列成的一維陣列中和最大的連續子序列。比如[0，-2，3，5，-1，2]應返回9，[-9，-2，-3，-5，-3]應返回-2。

1、動態規劃法

你也許從這兩個例子中已經可以看出，使用動態規劃的方法很容易完成這個任務，只要前i項的和還沒有小於0那麼子序列就一直向後擴充套件，否則丟棄之前的子序列開始新的子序列，同時我們要記下各個子序列的和，最後找到和最大的子序列。但是你可能需要謹慎一些，在整個陣列都為負的情況下，所以初始的和最大值賦值不當的話可能會出問題。

    根據以上的思路我們可以有以下的程式碼：

1. /********************************************************************** 
2. 動態規劃求最大子序列和 
3. **********************************************************************/
4. int Maxsum(int * arr, int size)  
5. {  
6.     int maxSum = -INF; //很重要，初始值賦值為負無窮大
7.     int sum = 0;  
8.     for(int i = 0; i < size; ++i)  
9. {  
10. //小於0則捨棄
11.         if(sum < 0)  
12.         {  
13.             sum = arr[i];  
14.         }else
15.         {  
16.             sum += arr[i];  
17.         }  
18. //比現有最大值大，則替換
19.         if(sum > maxSum)  
20.         {  
21.             maxSum = sum;  
22.         }  
23.     }  
24.     return maxSum;  
25. }  

1. /************************************************************************* 
2. 如果想獲得最大子序列和的初始和結束位置怎麼辦呢？我們知道，每當當前子陣列和的小於0時，便是新一輪子陣列的開始，每當更新最大和時，便對應可能的結束下標，這個時候，只要順便用本輪的起始和結束位置更新始末位置就可以，程式結束，最大子陣列和以及其始末位置便一起被記錄下來了 
3. *****************************************************************************/
4. void Maxsum_location(int * arr, int size, int & start, int & end)  
5. {  
6.     int maxSum = -INF;  
7.     int sum = 0;  
8.     int curstart = start = 0;  /* curstart記錄每次當前起始位置 */
9.     for(int i = 0; i < size; ++i)  
10.     {  
11.         if(sum < 0)  
12.         {  
13.             sum = arr[i];  
14.             curstart = i;     /* 記錄當前的起始位置 */
15.         }else
16.         {  
17.             sum += arr[i];  
18.         }  
19.         if(sum > maxSum)  
20.         {  
21.             maxSum = sum;  
22.             start = curstart; /* 記錄並更新最大子陣列起始位置 */
23.             end = i;  
24.         }  
25.     }  
26. }  

2、分治法

其實陣列的問題，最好留點心，有一大部分題目是可以用分治的辦法完成的，比如說這道題裡面：最大子序列和可能出現在三個地方，1）整個出現在輸入資料的左半部分，2）整個出現在輸入資料的右半部分，3）或者跨越輸入資料的中部從而佔據左右兩個半部分。可以有以下程式碼：

1. /************************************************************** 
2. 分治法求解最大子序列和 
3. ***************************************************************/
4. int MaxSumRec( const vector<int> & a, int left, int right )  
5. {  
6.     if( left == right )  // Base case
7.         if( a[ left ] > 0 )  
8.             return a[ left ];  
9.         else
10.             return 0;  
11.     int center = ( left + right ) / 2;  
12.     int maxLeftSum  = maxSumRec( a, left, center );  
13.     int maxRightSum = maxSumRec( a, center + 1, right );  
14.     int maxLeftBorderSum = 0, leftBorderSum = 0;  
15.     for( int i = center; i >= left; i-- )  
16.     {  
17.         leftBorderSum += a[ i ];  
18.         if( leftBorderSum > maxLeftBorderSum )  
19.             maxLeftBorderSum = leftBorderSum;  
20.     }  
21.     int maxRightBorderSum = 0, rightBorderSum = 0;  
22.     for( int j = center + 1; j <= right; j++ )  
23.     {  
24.         rightBorderSum += a[ j ];  
25.         if( rightBorderSum > maxRightBorderSum )  
26.             maxRightBorderSum = rightBorderSum;  
27.     }  
28.     return max3( maxLeftSum, maxRightSum, maxLeftBorderSum + maxRightBorderSum );  
29. }  

二、最長遞增子序列

和上一問題一樣，這是陣列序列中的問題，比如arr={1,5,8,2,3,4}的最長遞增子序列是1,2,3,4

1、動態規劃法

    結合上一題的思路，在陣列的這類問題裡面使用動態規劃還是很常見的，從後向前分析，很容易想到，第i個元素之前的最長遞增子序列的長度要麼是1（比如說遞減的數列），要麼就是第i-1個元素之前的最長遞增子序列加1，我們可以得到以下關係：

LIS[i] = max{1,LIS[k]+1}，其中，對於任意的k<=i-1，arr[i] > arr[k]，這樣arr[i]才能在arr[k]的基礎上構成一個新的遞增子序列。這種方法程式碼如下：

1. #include <iostream>
2. usingnamespace std;  
3. //動態規劃法求最長遞增子序列 LIS
4. int dp[101]; /* 設陣列長度不超過100，dp[i]記錄到[0,i]陣列的LIS */
5. int lis;    /* LIS 長度 */
6. int LIS(int * arr, int size)  
7. {  
8.     for(int i = 0; i < size; ++i)  
9.     {  
10.         dp[i] = 1;  
11.         for(int j = 0; j < i; ++j)  
12.         {  
13.             if(arr[i] > arr[j] && dp[i] < dp[j] + 1)  
14.             {  
15.                 dp[i] = dp[j] + 1;  
16.                 if(dp[i] > lis)  
17.                 {  
18.                     lis = dp[i];  
19.                 }  
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