一、動態規劃的基本思想

　　動態規劃算法通常用於求解具有某種最優性質的問題。在這類問題中，可能會有許多可行解。每一個解都對應於一個值，我們希望找到具有最優值的解。

　　將待求解問題分解成若幹個子問題，先求解子問題，然後從這些子問題的解得到原問題的解。適合於用動態規劃求解的問題，經分解得到子問題往往不是互相獨立的。若用分治法來解這類問題，則分解得到的子問題數目太多，有些子問題被重復計算了很多次。如果我們能夠保存已解決的子問題的答案，而在需要時再找出已求得的答案，這樣就可以避免大量的重復計算，節省時間。為了達到此目的，我們可以用一個表來記錄所有已解的子問題的答案。不管該子問題以後是否被用到，只要它被計算過，就將其結果填入表中。

二、動態規劃的基本要素（特征）

　　1、最優子結構：

　　當問題的最優解包含了其子問題的最優解時，稱該問題具有最優子結構性質。

　　2、重疊子問題：

　在用遞歸算法自頂向下解問題時，每次產生的子問題並不總是新問題，有些子問題被反復計算多次。動態規劃算法正是利用了這種子問題的重疊性質，對每一個子問題只解一次，而後將其解保存在一個表格中，在以後盡可能多地利用這些子問題的解。

三、用動態規劃求解問題的主要步驟

　　1、找出最優解的性質，並刻畫其結構特征；

　　2、遞歸地定義最優值（寫出動態規劃方程）；

　　3、以自底向上的方式計算出最優值；

　　4、根據計算最優值時得到的信息，構造一個最優解。

　　說明：（1）步驟 1～3 是動態規劃算法的基本步驟；
　　　　　（2）在只需要求出最優值的情形，步驟 4 可以省略；
　　　　　（3）若需要求出問題的一個最優解，則必須執行步驟 4。

四、動態規劃實例

　　1、矩陣連乘問題

　　m × n 矩陣 A 與 n × p 矩陣 B 相乘需耗費的時間。我們把 m x n x p 作為兩個矩陣相乘所需時間的測量值。

　　現在假定要計算三個矩陣 A、B 和 C 的乘積，有兩種方式計算此乘積。

　　（1）先用 A 乘以 B 得到矩陣 D，然後 D 乘以 C 得到最終結果，這種乘法的順序為（AB）C；

　　（2）先用 B 乘以 C 得到矩陣 E，然後 E 乘以 A 得到最終結果，這種乘法的順序為 A（BC）。

　　盡管這兩種不同的計算順序所得的結果相同，但時間消耗會有很大的差距。

　　實例：

圖1.1 A、B 和 C 矩陣

　　矩陣乘法符合結合律，所以在計算 ABC 矩陣連乘時，有兩種方案，即 （AB）C 和 A（BC）。

　　對於第一方案（AB）C 和，計算：

圖1.2 AB 矩陣相乘

　　其乘法運算次數為：2 × 3 × 2 = 12

圖1.3 （AB）C 矩陣連乘

　　其乘法運算次數為：2 × 2 × 4 = 16
　　總計算量為：12 + 16 = 28　

　　對第二方案 A（BC），計算：

圖1.4 BC 矩陣相乘

　　其乘法運算次數為：3 × 2 × 4 = 24

圖1.5 A、B 和 C 矩陣連乘

　　其乘法運算次數為：2 × 3 × 4 = 24

　　總計算量為：24 + 24 = 48

　　可見，不同方案的乘法運算量可能相差很懸殊。

　　問題定義：

　　給定 n 個矩陣 {A₁, A₂, …, A_n}，其中 A_i 與 A_i+1 是可乘的，i = 1,2,…,n-1。考察這 n 個矩陣的連乘積 A₁A₂…A_n。 由於矩陣乘法滿足結合律，所以計算矩陣的連乘可以有許多不同的計算次序。

　　這種計算次序可以用加括號的方式來確定。完全加括號的矩陣連乘積可遞歸地定義為：

　　（1）單個矩陣是完全加括號的；

　　（2）矩陣連乘積 A 是完全加括號的，則 A 可表示為 2 個完全加括號的矩陣連乘積 B 和 C 的乘積並加括號，即 A = (BC)。設有四個矩陣 A， B， C， D，總共有五種完全加括號的方式: (A((BC)D)) ， (A(B(CD))) ， ((AB)(CD)) ， (((AB)C)D) ， ((A(BC)D))。

　　a. 找出最優解的性質，並刻畫其結構特征；

　　將矩陣連乘積 A_iA_i+1…A_{j ，}簡記為 A[i : j]， 這裏 i≤j；考察計算 A[1:n] 的最優計算次序。

　　設這個計算次序在矩陣 A_k 和 A_k+1 之間將矩陣鏈斷開，1 ≤ k < n，則其相應完全加括號方式為 (A₁A₂…A_k)(A_k+1A_k+2…A_n)。

　　總計算量 = A[1:k] 的計算量 + A[k+1:n]的計算量 + A[1:k]和A[k+1:n]相乘的計算量

　　特征：計算 A[1:n] 的最優次序所包含的計算矩陣子鏈 A[1:k] 和 A[k+1:n] 的次序也是最優的。

　　b. 遞歸地定義最優值（寫出動態規劃方程）；

圖1.6 建立遞歸關系

　　c. 以自底向上的方式計算出最優值。　

 1 #include <iostream>
 2 using namespace std;
 3 
 4 #define NUM 51
 5 int p[NUM];            //矩陣維數 P0 x P1,P1 x P2,P2 x P3,...,P5 x P6 
 6 int m[NUM][NUM];    //最少乘次數 / 最優值數組 
 7 int s[NUM][NUM];    //最優斷開位置 
 8 
 9 void MatrixChain(int n)
10 {
11     for (int i = 1; i <= n; i++) m[i][i] = 0;
12     
13     for (int r = 2; r <= n; r++)                    //矩陣個數 
14         for (int i = 1; i <= n - r+1; i++)             //起始 
15         {
16             int j=i+r-1;                            //結尾 
17             m[i][j] = m[i+1][j]+ p[i-1]*p[i]*p[j];    //計算初值，從i處斷開，計算最優斷開位置 
18             s[i][j] = i;
19             for (int k = i+1; k < j; k++) 
20             {
21                 int t = m[i][k] + m[k+1][j] + p[i-1]*p[k]*p[j];
22                 if (t < m[i][j]) { m[i][j] = t; s[i][j] = k;}
23             }
24         }
25 }
26 
27 void TraceBack(int i, int j) 
28 { 
29     if(i==j)
30         cout<<"A"<<i;
31     else 
32     {
33         cout<<"(";
34         TraceBack(i,s[i][j]); 
35         TraceBack(s[i][j]+1,j); 
36         cout<<")"; 
37     }
38 } 
39 
40 int main() 
41 {
42     int n;
43     scanf("%d", &n);
44     int i, temp;
45     for (i=0; i<n; i++)
46         scanf("%d%d", &p[i], &temp);
47     p[n] = temp;
48     MatrixChain(n);
49     printf("%d\n", m[1][n]);
50     TraceBack(1, n);
51     return 0;
52 }

[C++] 動態規劃之矩陣連乘、最長公共子序列、最大子段和、最長單調遞增子序列