矩陣鏈乘問題

對於給定的n個矩陣，M1， M2 ，…， Mn，其中矩陣Mi 和Mj 是可乘的，要求確定計算矩陣連乘積 （ M1M2 …Mn ）的計算次序，使得按照該次數計算 矩陣連乘積時需要的乘法次數最少

1、描述最優解結構

目標：
求出矩陣鏈乘Mi Mi+1 ┅Mj-1 Mj（i<j） 所需的最少乘法次數
分析：
共有j-i+1個矩陣，按照做最後一次乘法的位置進行劃分，矩陣鏈乘一共可分為j-i種情況
最優解可表示為：
(Mi ┅ Mk) (Mk+1 ┅ Mj)（i≤k<j）

2、遞迴地定義最優值（寫出動態規劃方程）

記第t個矩陣Mt的列數為rt
令r0為矩陣 M1的行數 ，則第t個矩陣的行數為rt-1
故Mi ┅ Mk連乘所得是ri-1rk維矩陣 ，Mk+1 ┅ Mj連乘所得是rk

記(Mi ┅ Mk)和(Mk+1 ┅ Mj)的最少乘法次數，記為m[i][k]和m[k+1][j]
故(Mi … Mk)(Mk+1 … Mj)的最少乘法次數為m[i][k]+m[k+1][j]+ri-1rkrj
將滿足i≤k<j 的共j-i種情況逐一進行比較，
可知m[i][j]=min{m[i][k]+m[k+1][j]+ri-1rkrj}
而當i=j時，矩陣鏈中只包含一個矩陣，故m[i][j]=0

3、以自底向上的遞推方式計算出最優值 

演算法：
MATRIX-CHAIN

for i=1 to n
     do m[i][i]=0
 for l=1 to n-1  //l為連結串列的長度，即鏈乘矩陣的個數
      do for i=1 to n-l+1
             do j=i+l-1
              for k=i to j-1
                   m[i][j]=min{m[i][k]+m[k+1][j]+ri-1*rk*rj}
 

可知，演算法複雜度為Θ(n^3)

4、根據計算最優值時得到的資訊，以遞迴方法構造一個最優解

MATRIX-CHAIN演算法可說明計算矩陣乘積時的最少次數，但並不能直接說明如何對這些矩陣進行相乘。
通過一個二維陣列表來記錄對Mi ┅ Mj進行劃分的k值
故d[i,j]=k 表示Mi ┅ Mj的劃分情況是(Mi … Mk)(Mk+1 … Mj)
利用遞迴思想，劃分子結構即可

演算法：
PRINT-CHAIN(i,j,d[i][j])

if i=j
   then print "Mi"
   else print "("
           PRINT-CHAIN(i,d,d[d,i])
           PRINT-CHAIN(d,j,d[d,j])
           print ")"
 

具體題目：

給定6個矩陣 A1={30x35} ; A2={35x15} ;A3={15x5} ;A4={5x10} ;A5={10x20} ;A6={20x25} ；確定這6個矩陣的乘法次序，使得乘次最小。

最後的結果為：((A1(A2A3))((A4A5)A6)) 最小的乘次為15125。

java程式碼：

//無成員資料，僅有方法組成的MatrixMutiply類
public class MatrixMutiply{

    //成員函式MatrixChain()：得出乘法最少次數，即最優值
    //m[][]是存放最優值，M[i:j]鏈乘最少次數 m[i][j]
    //r[]存放矩陣的維數，r[i]表示Mi的行數，r[i+1]表示Mi的列數
    //d[][]存放分割位置k
    public static void MatrixChain(int m[][],int r[],int d[][]){

        int n=m.length-1;

        for(int i=1;i<=n;i++){
            m[i][i]=0;
        }

        //l為鏈長，即鏈乘矩陣的個數
        for(int l=2;l<=n;l++){
            for (int i=1;i<=n-l+1;i++){
                int j=i+l-1;
                m[i][j]=999999;
                //k為分割點
                for(int k=i;k<j;k++){
                    int temp=m[i][k]+m[k+1][j]+r[i-1]*r[k]*r[j];
                    if(m[i][j]>temp){
                        m[i][j]=temp;
                        d[i][j]=k;
                    }
                }
            }
        }
        System.out.print(m[1][n]);
    }


    //成員函式PrintChain()：輸出乘法次數最少時的乘法情況，即最優解
    //利用遞迴思想
   public static void PrintChain(int i,int j,int d[][]){
        if(i==j){
            System.out.print("M"+i);
        }
        else{
            System.out.print("(");
            PrintChain(i,d[i][j],d);
            PrintChain(d[i][j]+1,j,d);
            System.out.print(")");
        }
    }

    //靜態函式不可直接呼叫非靜態函式
    public static  void  main(String[]agrs){
        int array[][]=new int[7][7];
        int p[]=new int[]{30,35,15,5,10,20,25};
        int a[][]=new int[7][7];
        MatrixChain(array,p,a);
        System.out.println();
        PrintChain(1,6,a);
    }
}