1.       採用標準的矩陣乘法來計算M₁、M₂和M₃三個矩陣的乘積M₁M₂M₃，設這三個矩陣的維數分別是2 × 10、10 × 2和2 × 10。如果先把M₁和M₂相乘，然後把結果和M₃相乘，那麼要進行2× 10 × 2 + 2 × 2 × 10 = 80次乘法；如果代之用M₂和M₃相乘的結果去乘M₁，那麼數量乘法的次數為10× 2 × 10 + 2 × 10 × 10 = 400。顯然，執行乘法M₁(M₂M₃)耗費的時間是執行乘法(M₁M₂)M₃的5倍。一般來說，n個矩陣M₁M₂……M_n鏈乘法的耗費，取決於n– 1個乘法執行的順序，請設計一個動態規劃演算法，使得計算矩陣鏈乘法時需要的數量乘法次數達到最小。

由於問題中存在大量的重疊子問題，使用分治演算法遞迴得出結果的效率並不高，因此可以使用動態規劃來解決。首先建立一個函式functionD（引數為p陣列：用於存放矩陣的行列數，n：矩陣的規模，二維陣列m用來存放指定範圍矩陣相乘的次數最小值，二維陣列s：用於存放指定範圍矩陣的最佳斷開位置），首先使用for迴圈將單個矩陣相乘的次數設為零，其次通過使用for迴圈來控制矩陣的規模，使其規模遞增，在一個規模裡將預設的斷點設為第一個矩陣處斷開，其次再使用for迴圈控制斷點的移動，然後通過if語句來得出是否為最佳斷點。當所有規模都迴圈結束時，得到的m[i][n]便是整個矩陣鏈的最短乘法次數。

#include <iostream>

using namespace std;


 void functionD(int *p,int n,int **m,int **s) {
	for (int i=1 ; i <= n; i++){
		m[i][i]=0;//將單個矩陣相乘的次數設為0 
	} 
	for(int r=2 ; r <= n; r++) {//r為矩陣鏈的規模 
		for(int i=1; i<=n-r+1;i++){//i為前邊界 
			int j=i+r-1;//j為後邊界 
			m[i][j]=m[i][i]+m[i+1][j]+p[i-1]*p[i]*p[j];//記錄斷點在i處時所需要的乘法次數 
			s[i][j]=i;//將斷點初始化在i處 
			for(int k=i+1;k<j;k++){
				int t=m[i][k]/*實現重疊子問題的利用*/+m[k+1][j]+p[i-1]*p[k]*p[j];
				if(t<m[i][j]) {//如果新的斷點的乘法次數小於原來的次數 
					m[i][j]=t;//更新最少乘法次數 
					s[i][j]=k;//儲存最佳斷點位置 
				}
			} 
		}
	}
}
int main(){
	int p[] = {30,35,15,5,10,20,25};//矩陣鏈的行列數 
	int n=6;//矩陣的個數 
	int **m,**s;
	m=new int *[n];
	for(int i=0;i<n;i++){
		m[i]=new int [n];
	}  
	s=new int *[n];
	for(int i=0;i<n;i++){
		s[i]=new int [n];
	}
	 functionD(p,n,m,s) ; 
	cout<<"最少乘法次數為"<<m[1][n]<<endl;
	return 0;
}