## 一、概述 先放百科上的說法： > 演算法的**時間複雜度**（Time complexity）是一個函式，它定性描述該演算法的執行時間。這是一個代表演算法輸入值的字串的長度的函式。 > > 時間複雜度常用大O符號表述，不包括這個函式的低階項和首項係數。使用這種方式時，時間複雜度可被稱為是漸近的，亦即考察輸入值大小趨近無窮時的情況。 > > 例如，如果一個演算法對於任何大小為 *n* （必須比 *n0* 大）的輸入，它至多需要 5*n*3 + 3*n* 的時間執行完畢，那麼它的漸近時間複雜度是 O(*n*3). ## 二、時間頻度 要理解時間複雜度，需要先理解時間頻度，而時間頻度簡單的說，就是**演算法中語句的執行次數**。 舉個例子： 要計算1+2+...+100，現在有兩種演算法 ~~~java public int fun1(int n){ int total; for(int i = 0; i <= n; i++){ total+=i; } return total; } public int fun2(int n){ int total = (1 + n)*n/2; return total; } ~~~ 我們可以看見，對於`fun1()`這個方法，不管n多大，永遠需要執行n+1次，也就是說他的時間頻度是T(n)=n+1, 而對與`fun2()`來說，不管n多大都只需要執行1次，所以他的時間頻度T(n)=1。 **當n趨向無窮大時，有三個忽略**： ### 1.忽略常數項 比如T(n)=2n+1，當n趨向無窮大時，可以忽略常數項1； 參見下圖： - 2n+20 和 2n 隨著n 變大，執行曲線無限接近, 20可以忽略 - 3n+10 和 3n 隨著n 變大，執行曲線無限接近, 10可以忽略  ### 2.忽略低次項 比如T(n)=2n+3n^8，當n趨向無窮大時，可以忽略低次項及其係數2n； 參見下圖： - 2n^2+3n+10 和 2n^2 隨著n 變大, 執行曲線無限接近, 可以忽略 3n+10 - n^2+5n+20 和 n^2 隨著n 變大,執行曲線無限接近, 可以忽略 5n+20  ### 3.忽略係數 比如T(n)=2n^8，當n趨向無窮大時，可以忽略係數2。 參見下圖： - 隨著n值變大，5n^2+7n 和 3n^2 + 2n ，執行曲線重合, 說明 這種情況下, 5和3可以忽略。 - 而n^3+5n 和 6n^3+4n ，執行曲線分離，說明多少次方式關鍵  ## 三、時間複雜度 我們現在理解了時間頻度的T(n)的含義，假設當有一個輔助函式f(n)，使得**當n趨近無窮大時**，T(n)/f(n)的極限值為不等於0的常數，就叫f(n)為T(n)的同量級函式，記作T(n)=O(f(n))， 稱O(f(n))為演算法的**時間漸進複雜度**，也就是**時間複雜度**。 又根據時間頻度T(n)的“三個忽略”原則，我們可以知道時間複雜度是這樣得到的： 1. 忽略所有常數 2. 只保留函式中的最高階項 3. 去掉最高階項的係數 舉個例子： 某演算法T(n)=2n^3+4n-5，按步驟走： 1. T(n)=2n^3+4n 2. T(n)=2n^3 3. T(n)=n^3 即可得該演算法時間複雜度為O(n^3) ## 四、常見時間複雜度 這裡按複雜度從低到高列舉常見的時間複雜度： 1. 常數階O(1) ~~~java // 無論程式碼執行了多少行，只要是沒有迴圈等複雜結構，那這個程式碼的時間複雜度就都是O(1) 。 public void fun(int n){ n+=1; } ~~~ 2. 對數階O(log2n) ~~~java // 根據公式有 n = 2^x，也就是 x = log2n，x即為迴圈程式碼執行次數，所以時間複雜度為O(log2n) public void fun(int n){ int i = 1; while(i < n){ i = i *2 } } ~~~ 3. 線性階O(n) ~~~java // 一般來說，只要程式碼裡只有一個迴圈結構，即輸入規模和執行次數呈線性相關，那這個程式碼的時間複雜度就都是O(n) 。 public void fun(int n){ for(int i = 0; i < n; i++){ n+=i; } } ~~~ 4. 線性對數階O(nlogn) ~~~java // 可以簡單理解為對數階的程式被放入了迴圈結構中，也就是n*O(logn)，下面的程式碼的複雜度就是O(nlog2n) public void fun(int n){ int j = 1; for(int i = 0; i < n; i++){ while(i < n){ j = j *2 } } } ~~~ 5. 平方階O(n²)，立方階O(n^3)，K次方階O(n^k) ~~~java // 平方階可以簡單理解為線性階中巢狀一個線性階，也就是O(logn)*O(logn)，下面的程式碼複雜度就是O(n^2) // 立方階同理，就是三個線性階的巢狀，K次方階同理 public void fun(int n){ for(int i = 0; i < n; i++){ for(int j = 0; j < n; i++){ i=i+j; } } } ~~~ ## 五、複雜度的四個概念 1. 最壞情況時間複雜度：程式碼在最理想情況下執行的時間複雜度。 2. 最好情況時間複雜度：程式碼在最壞情況下執行的時間複雜度。 3. 平均時間複雜度：用程式碼在所有情況下執行的次數的加權平均值表示 4. 均攤時間複雜度：在程式碼執行的所有複雜度情況中絕大部分是低級別的複雜度，個別情況是高級別複雜度且發生具有時序關係時，可以將個別高級別複雜度均攤到低級別複雜度上。基本上均攤結果就等於低級別複雜度。 舉個例子： 長度為n的陣列查詢一個給定元素k ~~~java public void fun(int[] arr,int k){ for(int i = 0; i < arr.length; i++){ if(arr[i] == k){ //找到了 } } } ~~~ 上面這個方法，最好的情況下元素k就在陣列第一位，複雜度為O(1)，但是最壞的情況下，元素k在陣列最後一位，複雜度為O(n)。 同一段程式碼在不同情況下時間複雜度會出現量級差異，為了更全面，更準確的描述程式碼的時間複雜度，我們引入這4個概念，當然，在大多數時候我們是不用特意區分這四種情況的。 ## 六、總結 總結一下如何快速判斷程式的時間複雜度： - 只關注迴圈最多的那部分程式碼 - 總複雜度等於量級最大的那段程式碼的複雜度 - 巢狀程式碼的複雜度等於巢狀內外程式碼複雜度