在寫完了所有線性資料結構之後，今天開啟非線性資料結構系列。 我們今天先來看，什麼是“樹”。 樹是由頂點和邊組成的且不存在環的資料結構。**作為一個應用非常廣的資料結構，不僅在工作中常用，在面試中也非常常考。** 一是因為樹的結構天然決定了它和遞迴聯絡緊密，很多樹相關的演算法題都非常適合用遞迴來解； 二是因為它的難度介於連結串列和圖之間，非常適合在 45 分鐘的面試裡進行考察，所以一場面試中遇到兩三輪問樹都是再正常不過的了。 本文先來講樹的基礎內容，分為以下小節，每個小節開頭都會有思維導圖和對應的 `Leetcode` 演算法題喲～ 1. 簡介 2. 金融裡的二叉樹 3. 樹的所有概念 a. 樹的**三大特點** b. 樹的**五大品種** c. 高度和深度 4. 看樹的角度 a. 三種 `DFS` 遍歷方式 b. 兩種 `BFS` 遍歷方式 c. 四種檢視 鑑於樹相關的內容太多，而且又是面試重點內容，之後會有文章再專門來講**樹有關的解題思路**以及最常用的**二叉搜尋樹**，大家敬請期待～ ## 簡介 其實資料結構裡的“樹”和我們現實世界裡的樹挺像的，只不過倒過來了嘛，根朝上。 比如：  在這片森林裡，最常用的還是「二叉樹」。 二叉樹，是由很多個 `TreeNode` 構成的這種樹形的資料結構， ```java class TreeNode { int value; TreeNode left; TreeNode right; } ``` 就像連結串列中的 `ListNode`。 二叉樹並不一定非得是“二叉”的，而是說每個節點**最多**有兩個孩子，叫 `left` 和 `right`，但也可以沒有。 當每個節點都只有一個孩子的時候，就退化成了連結串列。 所以**連結串列就是一棵特殊的樹，而樹是一個特殊的圖。** ## 金融裡的二叉樹 大家知道我是金融背景的，所以我最開始瞭解二叉樹是在金融工程課程中給衍生品定價，這裡也簡單梳理下，不感興趣的小夥伴可以跳過這一段。 在金融工程裡，二叉樹是用來在風險中性世界裡給期權定價使用的模型。 比如這是一個股價二叉樹，其實就是我們把二叉樹放倒了看嘛。  有些小夥伴會發現，這裡的節點好像少了很多，沒錯，因為我們讓股價每次上漲和下跌的幅度保持不變，所以到第 n 層最多有 n 個節點，而不會像普通的二叉樹一樣按照等比序列增長。 上圖是兩期的二叉樹，那麼最簡單的一期的二叉樹定價模型表示為：  我們假設當前股票的價格為 `S`，那我們想知道未來某個時刻比如 `t 時刻`的價格，股價有可能上漲也有可能下跌，還可能不變呢。 在該模型裡我們就抽象成兩種可能性，一種是上漲，一種是下跌，所以可以用二叉樹來表示。 假設股票價格會有 `p` 的概率上漲至 `uS`, 有 `1-p` 的概率下跌至 `dS`. 這裡的 `p` 並不是在真實世界裡股票上漲的概率，而是一個在風險中性世界裡的上漲概率，所以 **股票現在的價格就是未來某時刻的無風險收益的折現**， 即： $$S = e^{-rt}[pS_u + (1-p) S_d] $$ 這就是最簡單的二叉樹定價模型。 那我們言歸正傳。 ## 樹的所有概念  ### 1. 三大特點 樹的三大特點是： 1. 如果把樹看成一個無向圖，那麼它是一個**連通圖** `connected graph`. 2. 樹是一個**無環圖**。 3. 樹的節點個數和邊的個數之間的關係是固定的。如果樹上有 `n` 個 `node`，那麼它有 `n-1` 條邊。因為除了根節點，其他的節點都會有一條邊指向它。 ### 2. 樹的品種 **2.1 平衡二叉樹** `Balanced Binary Tree`： - 定義：對於這棵樹裡的**每個節點**，它的左子樹和右子樹的高度差不大於 1。 這裡要注意，是對於**每個節點**，而不只是對於根結點。 比如左邊這棵樹就不是平衡二叉樹，右邊的才是。  那麼大名鼎鼎的 `AVL-Tree` 就是平衡二叉樹，準確說是自平衡二叉查詢樹。 那什麼是二叉查詢樹呢？ **2.2 二叉查詢樹** `Binary Search Tree` - 定義：對於這棵樹裡的每個節點， - 它左子樹裡的每個節點的值都小於它的值； - 它右子樹裡的每個節點的值都大於它的值。  對二叉查詢樹，最重要的性質就是： **在做中序遍歷時，這個序列是一個升序序列。** 當你在做二叉查詢樹的演算法題沒有思路時，可以想想這個性質，很多題目都會迎刃而解。 **2.3 完全二叉樹** `Complete Binary Tree`： - 定義：除了最後一層，其他層都是滿的，那麼最後一層的節點要靠左排列且中間不允許有氣泡。 比如左邊不是完全二叉樹，右邊的是。  比如堆就是一個完全二叉樹，還不瞭解堆的基本操作的，公眾號內回覆「堆」獲取文章複習喲～ 那麼完全二叉樹的最大的好處就是因為它排列緊密沒有氣泡，所以可以用陣列來儲存，這樣就大大節省了記憶體空間。 **2.4 完美二叉樹** `Perfect Binary Tree` - 定義：所有層的所有節點都必須是滿的。 完美二叉樹比完全二叉樹的定義更加嚴格，包括最後一層，每一層的節點都要是滿的，畢竟是追求完美的嘛。 所以我們如果知道了層數，就知道了它有多少個節點，也就是一個等比數列求和。  **2.5 完滿二叉樹** `Full Tree` - 定義：對於這棵樹的每個節點而言，要麼有 0 個孩子，要麼有 2 個孩子。  大家不要輕視這些概念哦，很多演算法題都會直接考察，在本節的思維導圖裡也附帶了 Leetcode 對應的題目，電面時很喜歡考哦～ ### 3. 高度和深度 樹的高度 `height` 和深度 `depth` 是兩個非常重要的概念，比如 Leetcode 104 和 111 就是專門求樹的高度的。 而這兩個概念是相反方向的，大體上呢， - **高度是從當前節點到葉子