## 一：FFT原理 ### 1.1 DFT計算 在一個週期內的離散傅立葉級數(DFS)變換定義為離散傅立葉變換(DFT)。 $$ \begin{cases} X(k) = \sum_{n=0}^{N-1}x(n)W_N^{kn}, & 0 \le k \le {N-1} \\ x(n) = \frac{1}{N} \sum_{k=0}^{N-1}X(k)W_N^{-kn}, & 0 \le n \le {N-1} \\ \end{cases} $$ 其中，$W_N = e^{-j\frac{2\pi}{N}}$。$X(k)$是$x(n)$的離散傅立葉變換。 用矩陣方程可以更加清楚的看出DFT的變換過程： $$X = W \cdot x \tag{1}$$ $X = \begin{pmatrix} X(0) \\ X(1) \\ x(2) \\ \vdots \\ X(N-1) \\ \end{pmatrix}$；$W = \begin{pmatrix} 1 & 1 & 1 & \cdots & 1 \\ 1 & W_N^1 & W_N^2 & \cdots & W_N^{N-1} \\ 1 & W_N^2 & W_N^4 & \cdots & W_N^{2(N-1)} \\ \vdots & \vdots & \vdots & \ddots & \vdots \\ 1 & W_N^{N-1} & W_N^{2(N-1)} & \cdots & W_N^{(N-1)(N-1)} \\ \end{pmatrix}$；$x = \begin{pmatrix} x(0) \\ x(1) \\ x(2) \\ \vdots \\ x(N-1) \\ \end{pmatrix}$ 可以看出，長度為$N$的有限長序列$x(n)$，其離散傅立葉變換$X(k)$仍是一個長度為$N$的有限長序列。由(1)可看出時間複雜度為$O(N^2)$，如果$N = 1024$點的話，需要1048576(一百多萬)次複數乘法。DFT的計算量實在是太大了，於是有了後面的優化版本：快速傅立葉變換(FFT)。 ### 1.2 FFT計算 #### 1.2.1 性質鋪墊 由於係數$W_N^{nk} = e^{-j\frac{2\pi}{N}nk}$是一個周期函式，可以用它的性質來改進演算法，提高計算效率。 * 性質一：$W_N^{k + \frac{N}{2}} = -W_N^k$ (對稱性) * 性質二：$W_N^{nk} = W_1^{\frac{nk}{N}}$ (同除一個常數) 這裡主要利用以上兩個性質，把長度為N點的大點數的DFT運算依次分解為若干個小點數的DFT。因為DFT的計算量正比於$N^2$，$N$小計算量也小。 #### 1.2.2 按時間抽取的基2FFT(N點) 假設進行FFT的點數N是2的整次方(基2)，首先將序列分為兩組，一組為偶數項，一組為奇數項，然後進行如下的變換，推導如下： $$ \begin{align} X(k) &= \sum_{n=0}^{N-1}x(n)W_N^{nk} \notag\\ &= \sum_{n=0為偶數}^{N-2}x(n)W_{N}^{nk} + \sum_{n=1為奇數}^{N-2}x(n)W_{N}^{nk} \notag\\ &= \sum_{r=0}^{\frac{N}{2}-1}x(2r)W_{N}^{2rk} + \sum_{r=0}^{\frac{N}{2}-1}x(2r+1)W_{N}^{(2r+1)k} \notag\\ &= \sum_{r=0}^{\frac{N}{2}-1}x(2r)W_{N}^{2rk} + W_N^k \sum_{r=0}^{\frac{N}{2}-1}x(2r+1)W_{N}^{2rk} （由性質二\downarrow）\notag\\ &= \sum_{r=0}^{\frac{N}{2}-1}x(2r)W_{\frac{N}{2}}^{rk} + W_N^k \sum_{r=0}^{\frac{N}{2}-1}x(2r+1)W_{\frac{N}{2}}^{rk} ，0 \le k \le \frac{N}{2} - 1 \tag{2} \end{align} $$ 可以看出求$x(n)$的DFT變成了求其偶數項的DFT和奇數項的DFT的組合，但注意這隻計算出了前一半的DFT值，後一半由如下性質得到： 由性質一$\downarrow$ $$X(k + \frac{N}{2}) = \sum_{r=0}^{\frac{N}{2}-1}x(2r)W_{\frac{N}{2}}^{rk} - W_N^k \sum_{r=0}^{\frac{N}{2}-1}x(2r+1)W_{\frac{N}{2}}^{rk} ，0 \le k \le \frac{N}{2} - 1 \tag{3} $$ 這樣一來，我們就計算出了完整的$x(n)$的DFT值，其實這就是FFT的核心思想了，接下來我們用蝶形圖讓上面的計算步驟更直觀形象一些。 ### 1.3 蝶形訊號流圖 用$G(k)$代替偶數項DFT，用$H(k)$代替奇數項DFT，則整理公式(2)、(3)為： $$ \begin{cases} X(k) = G(k) + W_N^k H(k)，& 0 \le k \le \frac{N}{2} - 1\\ X(k + \frac{N}{2}) = G(k) - W_N^k H(k), & 0 \le k \le \frac{N}{2} - 1 \tag{4} \\ \end{cases} $$ 其中 $$ \begin{cases} G(k) = \sum_{r=0}^{\frac{N}{2}-1}x(2r)W_{\frac{N}{2}}^{rk}\\ H(k) = \sum_{r=0}^{\frac{N}{2}-1}x(2r+1)W_{\frac{N}{2}}^{rk} \tag{5} \\ \end{cases} $$ 從（4）和（5）可以看出，我們可以把一串時域資料分成偶數部分和奇數部分來計算$G(K)$和$H(k)$，同樣也可以再把偶數部分再分成偶數部分和奇數部分計算，直到分到最後只剩下兩個資料，再遞迴計算出FFT結果，具體直觀點的流程見下面經典的N點蝶形圖：

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## 二：FFT的C++實現 ``` #include // fft演算法實現，基2時間抽取 #include #include using namespace std; const double PI = acos(-1); // pi值 struct Cpx // 定義一個複數結構體和複數運演算法則 { double r, i; Cpx() : r(0), i(0) {} Cpx(double _r, double _i) : r(_r), i(_i) {} }; Cpx operator + (Cpx a, Cpx b) { return Cpx(a.r + b.r, a.i + b.i); } Cpx operator - (Cpx a, Cpx b) { return Cpx(a.r - b.r, a.i - b.i); } Cpx operator * (Cpx a, Cpx b) { return Cpx(a.r * b.r - a.i * b.i, a.r * b.i + a.i * b.r); } void fft(vector& a, int lim, int opt) { if (lim == 1) return; vector a0(lim >> 1), a1(lim >> 1); // 初始化一半大小，存放偶數和奇數部分 for (int i = 0; i < lim; i += 2) a0[i >> 1] = a[i], a1[i >> 1] = a[i + 1]; // 分成偶數部分和奇數部分 fft(a0, lim >> 1, opt); // 遞迴計算偶數部分 fft(a1, lim >> 1, opt); // 遞迴計算偶數部分 Cpx wn(cos(2 * PI / lim), opt * -sin(2 * PI / lim)); //等於WN Cpx w(1, 0); for (int k = 0; k < (lim >> 1); k++) // 見蝶形圖1運算過程 { a[k] = a0[k] + w * a1[k]; a[k + (lim >> 1)] = a0[k] - w * a1[k]; w = w * wn; } //for (int k = 0; k < (lim >> 1); k++) // 見蝶形圖2，小優化一下，少一次乘法 //{ // Cpx t = w * a1[k]; // a[k] = a0[k] + t; // a[k + (lim >> 1)] = a0[k] - t; // w = w * wn; //} } int main() { int opt = 1; // 1為FFT，-1為IFFT vector a(16); // 這裡固定為16點，可以改變 for (int i = 0; i < 16; i++) // 隨機生成16個數作為待處理的資料 { Cpx c = Cpx(cos(0.2 * PI * i), 0); a[i] = c; } if (1 == opt) fft(a, 16, opt); // a陣列成為FFT過後的值 else if (-1 == opt) { fft(a, 16, opt); // a陣列成為IFFT過後的值 for (int i = 0; i < 512; i++) a[i].r /= 512, a[i].i /= -512;// IFFT要除以長度 } else; return 0; } ```

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## 三：MATLAB與C++混合程式設計 在工程上有的時候為了使資料處理更快或者支援某些定點運算，而選擇將某些處理步驟用C/C++來處理，其實一般工程用MATLAB處理速度已經足夠了，混合程式設計也全當是複習一下C++吧。 MATLAB與C++混合程式設計分為MATLAB中呼叫C++和C++中呼叫MATLAB，這裡我們討論的是前者。MATLAB與C++混合程式設計不是簡單的把兩種語言寫在一起就行，而是需要遵循一種介面規範，具體在3.2中討論。 ### 3.1 混合程式設計步驟 從MATLAB的編譯器配置到最後程式跳轉到VS中打斷點除錯，在整個混合程式設計的過程中遇到了不少的困難，網上能找的資料多但是也雜亂，這裡總結一下我從開始到最後所做的步驟。 ① 我是用的是MATLAB2019b和VS2019，之前用的MATLAB2016，然後下載什麼2019支援檔案，修改登錄檔等等搞了很久也沒弄好，索性直接換MATLAB2019b。 ② MATLAB中執行mex -setup C++與mbuild -setup C++，如果不成功那就是當前版本的MATLAB不支援當前版本的Visual Studio，建議把MATLAB版本升高。不建議把VS的版本降低，會有相容問題。 ③ 不需要建立工程，直接建立一個xx.cpp檔案按照mex介面定義寫一個C++程式（具體程式之後討論）。之前建立工程搗鼓了很久VS裡面的配置問題，比如連結extern庫等等，但感覺最後也並不需要建立工程，所以並不需要配置這些外部連結庫？直接寫xx.cpp檔案就好了？（我也不太確定，也可能有用） ④ 程式寫好之後在MATLAB中執行mex -g xx.cpp，如果xx.cpp程式寫的符合規範的話，就會mex成功，生成xx.mexw64和xx.pdb檔案；如果mex失敗的話根據MATLAB返回的警告去修改程式碼。注意為了之後能進入到VS2019裡斷點除錯，要加-g。 ⑤ 在MATLAB指令碼中寫相應的測試程式，設定斷點執行停在xx()函式處。 ⑥ 用VS2019開啟xx.cpp檔案，在‘除錯’一欄找到‘新增到程序’，進去 選擇‘本機’，然後把MATLAB新增到程序。在你想停的地方設定斷點。 ⑦ MATLAB繼續執行，則進入到VS2019中的相應斷點處。（最後兩步有可能進不去，其實我也是有時候能進去有時候不能，暫時也沒有什麼好的解決辦法） ### 3.2 介面使用 mex檔案是MATLAB中.m檔案與VS中.cpp檔案的橋樑，mex介面好壞關係到我們的MATLAB資料能不能正確地在C++程式中執行。 其中最重要的標頭檔案和介面主函式如下，寫法是固定的。 ``` #include "mex.h" void mexFunction(int nlhs, mxArray *plhs[], int nrhs, const mxArray *prhs[]) ``` int nrhs：輸入引數的個數 mxArray *prhs[]:輸入引數的指標陣列 int nlhs：輸出引數的個數 const mxArray *plhs[]：輸出引數的指標陣列 注意輸入和輸出都是以指標的形式傳輸的，可以理解成MATLAB把它的引數放到了某個地址處，然後C++中根據這個引數的長度去相應地址處讀取相應長度的資料，就完成了引數的傳遞過程。相反最後再傳遞回去。 下面總結幾個常用的mex函式： 讀取引數時會用到的函式： ``` // 複數單值讀取 double Nr1 = *mxGetPr(prhs[0]); // 讀取第一個引數的實部 double Ni2 = *mxGetPr(prhs[1]); // 讀取第二個引數的虛部 ``` ``` // 地址讀取 double* Pr1 = mxGetPr(prhs[0]); // 讀取第一個引數的實部地址 double* Pi2 = mxGetPi(prhs[0]); // 讀取第一個引數的虛部地址 ``` ``` // 矩陣維度讀取 int M = mxGetM(prhs[2]); // 讀取第三個引數的行數 int N = mxGetN(prhs[2]); // 讀取第三個引數的列數 ``` `待補充` 輸出引數時會用到的函式： ``` // 輸出復矩陣 plhs[0] = mxCreateDoubleMatrix(M, N, mxCOMPLEX); // 建立M*N的復矩陣 double* outPr = mxGetPr(plhs[0]); double* outPi = mxGetPi(plhs[0]); ``` `待補充` ### 3.3 FFT的MATLAB/C++混合實現 先將第二章中FFT的程式碼用mex介面改寫成如下形式： ``` # include "mex.h" # include # include const double PI = acos(-1); // pi struct Cpx // 定義一個複數結構體和複數運演算法則 { double r, i; Cpx() : r(0), i(0) {} Cpx(double _r, double _i) : r(_r), i(_i) {} }; Cpx operator + (Cpx a, Cpx b) { return Cpx(a.r + b.r, a.i + b.i); } Cpx operator - (Cpx a, Cpx b) { return Cpx(a.r - b.r, a.i - b.i); } Cpx operator * (Cpx a, Cpx b) { return Cpx(a.r * b.r - a.i * b.i, a.r * b.i + a.i * b.r); } void fft(std::vector& a, int lim, int opt) { if (lim == 1) return; std::vector a0(lim >> 1), a1(lim >> 1); for (int i = 0; i < lim; i += 2) a0[i >> 1] = a[i], a1[i >> 1] = a[i + 1]; // 分成偶數部分和奇數部分 fft(a0, lim >> 1, opt); fft(a1, lim >> 1, opt); Cpx wn(cos(2 * PI / lim), opt * -sin(2 * PI / lim)); Cpx w(1, 0); for (int k = 0; k < (lim >> 1); k++) // 蝶形運算過程 { a[k] = a0[k] + w * a1[k]; a[k + (lim >> 1)] = a0[k] - w * a1[k]; w = w * wn; } } void mexFunction(int nlhs, mxArray* plhs[], int nrhs, const mxArray* prhs[]) // mex主函式 { int M = mxGetM(prhs[0]); // 輸入矩陣行數 int N = mxGetN(prhs[0]); // 輸入矩陣列數 double* xpr = mxGetPr(prhs[0]); // 輸入矩陣實部指標 double* xpi = mxGetPi(prhs[0]); // 輸入矩陣虛部指標 int lim = *mxGetPr(prhs[1]); // 輸入引數，長度，這裡輸入的為行向量，所以lim = N，M = 1 int opt = *mxGetPr(prhs[2]); // 輸入引數，選擇， 1為FFT，-1為IFFT plhs[0] = mxCreateDoubleMatrix(M, N, mxCOMPLEX); // 輸出矩陣建立（重要） double* ypr = mxGetPr(plhs[0]); // 輸出矩陣實部指標 double* ypi = mxGetPi(plhs[0]); // 輸出矩陣虛部指標 std::vector a(lim); // 用vector儲存資料 for (int i = 0; i < lim; i++) // 輸入向量傳入 { a[i].r = xpr[i]; a[i].i = xpi[i]; } if (1 == opt) fft(a, lim, opt); // a陣列變為FFT過後的值 else if (-1 == opt) { fft(a, lim, opt); // a陣列變為IFFT過後的值 for (int i = 0; i < lim; i++) a[i].r /= lim, a[i].i /= lim;// IFFT要除以長度 } else; for (int i = 0; i < lim; i++) // 輸出向量傳出 { ypr[i] = a[i].r; ypi[i] = a[i].i; } return; } ``` 再在MATLAB指令碼中寫如下程式： ``` clear all mex fftxx.cpp -g a = randn(1, 16) + 1i * randn(1, 16); % 隨機生成16個複數資料 fftsize = 16; b = fftxx(a, fftsize, 1) % 傳入C++中進行FFT處理 b1 = fft(a,fftsize) % MATLAB系統函式進行FFT處理 c = fftxx(b, fftsize, -1) % 傳入C++中進行IFFT處理 c1 = ifft(b, fftsize) % MATLAB系統函式進行IFFT處理 ``` 最後執行該.m程式，在MATLAB命令列視窗中可以看到b和b1，c和c1輸出結果完全