[SPOJ22343] Norma
摘要：
Description
現在有一個長度為\(N(N\leq 500000)\)
的序列，定義區間\([l,r]\)
的價值為\([l,r]\)
的最小值乘上\([l,r]\)
的最大值乘上\([l,r]\)
的長度。問這個序列的所有區間的價值和對 ...
Description
現在有一個長度為\(N(N\leq 500000)\) 的序列，定義區間\([l,r]\) 的價值為\([l,r]\) 的最小值乘上\([l,r]\) 的最大值乘上\([l,r]\) 的長度。問這個序列的所有區間的價值和對\(10^9\) 取模的結果。
Solution
遇到神仙題考慮分治。
考慮所有經過\(mid\) 的區間。
對於小於等於\(mid的\) \(i\) ，我們要求所有在\(mid\) 右邊的\(j\) 並計算\([i,j]\) 的價值。
可以先維護出來\([i,mid]\) 的最小值和最大值記為\(minn,maxn\) 。
在右邊維護兩個指標\(p,q\) ，分別表示第一個大於\(minn\) 的位置和第一個小於\(maxn\) 的位置。
如果我們把\(i\) 從\(mid\) 倒序迴圈到\(l\) ，那麼可以發現，\(maxn,minn,p,q\) 都是具有單調性的。
那對於一個\(i\) 的答案就可以分成三部分計算(假設\(p<q\) ) ：\([mid+1,p),[p,q),[q,r]\) 。做幾個字首和弄一下就行了。
Code
#include<set>
#include<map>
#include<cmath>
#include<queue>
#include<cctype>
#include<vector>
#include<cstdio>
#include<cstring>
#include<iostream>
#include<algorithm>
#define int long long
using std::min;
using std::max;
using std::swap;
using std::vector;
const int N=5e5+5;
typedef double db;
const int mod=1e9;
typedef long long ll;
#define pb(A) push_back(A)
#define pii std::pair<int,int>
#define mp(A,B) std::make_pair(A,B)
int n;
ll qz[N][2];
ll mn[N][2];
ll mx[N][2];
ll val[N],ans;
int stk[N],top;
int qh(int l,int r){
if(l>r) return 0;
int len=r-l+1;
return (l+r)*len/2%mod;
}
int getint(){
int X=0,w=0;char ch=0;
while(!isdigit(ch))w|=ch=='-',ch=getchar();
while( isdigit(ch))X=X*10+ch-48,ch=getchar();
if(w) return -X;return X;
}
const int inf=1e9;
void solve(int l,int r){
if(l==r){(ans+=val[l]*val[l]%mod)%=mod;return;}
int mid=l+r>>1;
solve(l,mid);solve(mid+1,r);
ll minn=inf,maxn=-inf;
qz[mid][0]=qz[mid][1]=0;
for(int i=mid+1;i<=r;i++){
minn=min(minn,val[i]);
maxn=max(maxn,val[i]);
mn[i][0]=(mn[i-1][0]+minn)%mod;
mn[i][1]=(mn[i-1][1]+minn*(i-mid)%mod)%mod;
mx[i][0]=(mx[i-1][0]+maxn)%mod;
mx[i][1]=(mx[i-1][1]+maxn*(i-mid)%mod)%mod;
qz[i][0]=(qz[i-1][0]+(ll)minn*maxn%mod)%mod;
qz[i][1]=(qz[i-1][1]+(ll)minn*maxn%mod*(i-mid)%mod)%mod;
}
minn=inf,maxn=-inf;
int p=mid+1,q=mid+1;
for(int i=mid;i>=l;i--){
minn=min(minn,val[i]);
maxn=max(maxn,val[i]);
while(p<=r and val[p]>=minn) p++;
while(q<=r and val[q]<=maxn) q++;
int lll=min(p,q),rr=max(p,q);
int len=lll-mid-1;
(ans+=qh(mid+1-i+1,lll-1-i+1)*maxn%mod*minn%mod)%=mod;
if(p<q) (ans+=(mn[q-1][1]-mn[p-1][1]+mod)%mod*maxn%mod+(mn[q-1][0]-mn[p-1][0]+mod)%mod*(mid-i+1)%mod*maxn%mod)%=mod;
if(p>q) (ans+=(mx[p-1][1]-mx[q-1][1]+mod)%mod*minn%mod+(mx[p-1][0]-mx[q-1][0]+mod)%mod*(mid-i+1)%mod*minn%mod)%=mod;
(ans+=(qz[r][1]-qz[rr-1][1]+mod)%mod+(qz[r][0]-qz[rr-1][0]+mod)%mod*(mid-i+1)%mod)%=mod;
}
}
signed main(){
n=getint();
for(int i=1;i<=n;i++) val[i]=getint();
solve(1,n);
printf("%lld\n",ans);
return 0;
}