CF1097D Makoto and a Blackboard

摘要： Description: 給定\(n,k\) ，一共會進行\(k\) 次操作，每次操作會把\(n\) 等概率的變成\(n\) 的某個約數 求操作\(k\) 次後\(n\) 的期望是多少，答案對 ...

Description:

Hint:

\(n \le 10^{15} ,k \le 10^4\)

Solution:

學到新姿勢了

考慮裸暴力dp

\(dp[i][k]=\sum_{j|i}dp[j][k-1]*\frac{1}{cnt}\)

顯然T飛

我們發現答案滿足積性

考慮把dp[i]拆成\(dp[p_0^{a_0}]*dp[p_1^{a_1}]*dp[p_2^{a_2}]\) 其中\(p_i\) 為質數

這樣狀態數會大大減少,複雜度\(O(k*log^2n)\)

暴力記搜就行

#include <map>
#include <set>
#include <stack>
#include <cmath>
#include <queue>
#include <cstdio>
#include <cstring>
#include <cstdlib>
#include <iostream>
#include <algorithm>
#define ls p<<1 
#define rs p<<1|1
using namespace std;
typedef long long ll;
const llmxn=1e4+5,mod=1e9+7;
llk,t,ans=1,dp[63][mxn];
ll n;

inline llread() {
char c=getchar(); llx=0,f=1;
while(c>'9'||c<'0') {if(c=='-') f=-1;c=getchar();}
while(c<='9'&&c>='0') {x=(x<<3)+(x<<1)+(c&15);c=getchar();}
return x*f;
}
inline llchkmax(ll&x,lly) {if(x<y) x=y;}
inline llchkmin(ll&x,lly) {if(x>y) x=y;}

llqpow(lla,llb) 
{
llres=1,bs=a;
while(b) {
if(b&1) res=1ll*res*bs%mod;
bs=1ll*bs*bs%mod;
b>>=1;
}
return res;
}

llinv(llx) {return qpow(x,mod-2);}

llsolve(lla,llcnt,llopt) 
{
if(cnt==0) {
dp[cnt][opt]=1;
return 1;
}
if(opt==0) {
if(!dp[cnt][opt]) dp[cnt][opt]=1ll*solve(a,cnt-1,opt)*a%mod;
return dp[cnt][opt];
}
llres=0;
for(lld=0;d<=cnt;++d) {
if(!dp[d][opt-1]) dp[d][opt-1]=solve(a,d,opt-1);
res=(res+dp[d][opt-1])%mod;
}
return (ll) (1ll*res*inv(cnt+1)%mod);
}

intmain()
{
scanf("%lld",&n); k=read();
for(lli=2;i*i<=n;++i) {
if(n%i!=0) continue ; t=0;
while(n%i==0) ++t,n/=i;
memset(dp,0,sizeof(dp));
ans=1ll*ans*solve(i,t,k)%mod;
}
memset(dp,0,sizeof(dp));
if(n>1) ans=1ll*ans*solve(n,1,k)%mod;
printf("%lld",ans);
return 0;
}