什麼是響應面（RSM）分析

R語言 · 發表 2019-02-04 23:03:31

摘要：一、為什麼進行響應面分析假設我們要發射一顆子彈，目標在200m處，我們發射子彈時應該注意什麼？解決這個問題其實只需要高中物理知識，假設發射的初速度是，發射角是，目標距離為，子彈執行時間為，則很容易得到如下關係：在水...

一、為什麼進行響應面分析

假設我們要發射一顆子彈，目標在200m處，我們發射子彈時應該注意什麼？

解決這個問題其實只需要高中物理知識，假設發射的初速度是，發射角是，目標距離為，子彈執行時間為，則很容易得到如下關係：

在水平方向上：

在豎直方向：

整理一下就可以得到：

可見初始發射速度不同時，發射角也不一樣，必須保持兩者匹配才能擊中目標，而子彈的初始速度基本是已知的，主要就是要確定發射角，有了這個知識，我們就可以買一套裝備參加射擊比賽了！

很遺憾的是，只具備這些知識，還是很難打的準，為什麼？——我們忽略了環境條件（atmospheric conditions），比如當前風速、氣壓以及溫度等。這種情況下事情就變得複雜了。首先由於風的影響，發射角就不僅僅在豎直方向了( )，在水平方向( )也要有，否則子彈到目標位置時在水平方向就會有偏離。

問題是風到底會怎樣影響子彈？這就要用到空氣動力學了，這在本質上和飛行器在空氣中執行時受力是一致的——什麼？我一個射擊運動員讓我去學習空氣動力學？當然，影響不僅僅是風速，貌似當前氣壓和溫度也有那麼一丁點影響，這怎麼搞？有簡單一點的方法嗎？——不妨試試 響應面分析法(response surface methodology ，記為 RSM )！

二、響應面分析的數學基礎

大家都學過泰勒分析，其思想就是用多項式來擬合任意函式，比方說自然指數函式，我們可以進行如下展開：

如果要求不是很嚴格，我們其實可以只用前幾項來表達，如下圖所示：

可見，對於指數函式而言，在[0 1]範圍內，多項式取到三次的時候就和真值比較接近了，也就說說我們可以用更容易處理的多項式來擬合函式。

但是，泰勒展開有一個限制條件，那就是 變數只有一個 ，對於有好幾個變數的該如何處理呢？一個很顯然的結論是：我們也可以採用和泰勒展開類似的策略，比如我們可以只考慮常數項和一次項：

其中為試驗輸出量，為係數，為輸入變數，為觀測誤差。分析發現，最大到一次項太粗略，往往和實際值差別較大。實踐證明，最大到二次項一般情況下可以給出較為滿意的答案，即

這種通過一系列多個變數、確定性的“試驗”，來模擬真實極限狀態曲面的方法稱為響應面法，最早是由數學家Box和Wilson於1951年提出來的。為簡單期間，我們將兩個變數的乘積合併，用一個變數來代替：

寫成更緊湊的形式：

多次觀測後寫成矩陣的形式為：

其中

, ,

最小方差為：

當最小方差最小時，顯然擬合曲面和實際值最接近。當對的偏導數為零時，最小方差取極小值。

可得：

可以獲得擬合的響應面為：

三、回到射擊的例子

前面我們分析了響應面分析的數學基礎，下面我們來看一個具體的例子，還是子彈發射，不過增加了難度，現在是移動射擊。假設我們做了多次試驗，分別記錄了當地氣壓(air pressure)、空氣溫度( air_temp)、水平發射角(alpha)、豎直髮射角(beta)、與目標之間的距離(d)，初始速度(v0)以及當地風速(wind)，輸出量是子彈在目標附近的座標。現在要建立這幾個因素（變數）的響應面模型。

先用統計學分析一下，看看各個因素的影響。很明顯，氣壓和溫度的影響因子都比較小，因此不是主要影響因素,，後續可以忽略；發射角、初速度影響因子比較高，影響比較大；風速有負向影響，也別是y方向。